1楼：皮皮鬼
对任何一个函数f(x),都可以写成f(x)=g(x)+h(x)其中g(x)是奇函数,h(x)是偶函数
为了证明这一点,我们并不是从一个奇函数和一个偶函数的和如何构成任意函数
而是通过证明任意函数都能分解成g(x)+h(x)来得证得.
正规的证明如下:
证明:先假设f(x) = g(x) + h(x)是存在的,设为1式则f(-x) = g(-x) + h(-x),设为2式奇函数性质:g(x)=-g(-x)
偶函数性质:h(x)=h(-x)
那么分别拿1式+2式,1式-2式得到:
f(x)+f(-x)=2h(x)
f(x)-f(-x)=2g(x)
由此我们得出结论,对任意的f(x),我们能够构造这么两个函数g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 是奇函数h(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函数
为何任意一个函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之和? 5
2楼：不是苦瓜是什么
因为函数f（x）一定可以分解为奇函数和偶函数之和。其实可以直接从构造出的两个函数来证明就行了。 f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2
设函数y=f（x）
令f（x）=[f（x）+f（-x）]/2,则f（-x）=[f（-x）+f（x）]/2=f（x）
于是f（x）为偶函数
令g（x）=[f（x）-f（-x）]/2,则g（-x）=[f（-x）-f（x）]/2=-g（x）
则g（x）为奇函数
f（x）+g（x）=[f（x）+f（-x）]/2+）[f（x）-f（-x）]/2
=f（x）
于是任意f（x）可表示为偶函数f（x）=[f（x）+f（-x）]/2与奇函数g（x）=[f（x）-f（-x）]/2的和
所以，任意一个函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之和。
函数的奇偶性也就是对任意xel，若f(-x)=f(x)，即在关于y轴的对称点的函数值相等，则f(x)称为偶函数;若f(-x)= - f(x)，即对称点的函数值正负相反，则f(x)称为奇函数。
在平面直角坐标系中，偶函数的图象对称于y轴，奇函数的图象对称于原点.可导的奇(偶)函数的导函数的奇偶性与原来函数相反。定义在对称区间(或点集)上的任何函数f(x)都可以表示成奇函数φ( x)和偶函数ψ(x)之和。
3楼：
对任何一个函数f(x),都可以写成f(x)=g(x)+h(x)其中g(x)是奇函数,h(x)是偶函数
为了证明这一点,我们并不是从一个奇函数和一个偶函数的和如何构成任意函数
而是通过证明任意函数都能分解成g(x)+h(x)来得证得.
正规的证明如下:
证明:先假设f(x) = g(x) + h(x)是存在的,设为1式则f(-x) = g(-x) + h(-x),设为2式奇函数性质:g(x)=-g(-x)
偶函数性质:h(x)=h(-x)
那么分别拿1式+2式,1式-2式得到:
f(x)+f(-x)=2h(x)
f(x)-f(-x)=2g(x)
由此我们得出结论,对任意的f(x),我们能够构造这么两个函数g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 是奇函数h(x)=[f(x)+f(-x)]/2 是偶函数且g(x)+h(x)=f(x)
证毕.通过这个证明还能够得到如何分解成奇函数和偶函数的方法
4楼：哿桉
这个证明基于假设的基础上，怎么可能对
如何证明任何一个函数可以分解成一个奇函数和一个偶函数的和
5楼：匿名用户
设g(x)=[f(x)-f(-x)]/2h(x)=[f(x)+f(-x)]/2fx)=g(x)+h(x).......g(x）。h(x)分别是奇。偶函数(注意定义域）
6楼：匿名用户
f(x)=f(x)+g(x)f(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)f(x)+f(-x)=2g(x) 是偶函数f(x)-f(-x)=2f(x)是奇函数就可以了
如何证明任何一个函数可以分解成一个奇函数和一个偶函数的和谢谢了，大神帮忙啊
7楼：加菲21日
f(x)=f(x)+g(x) f(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x) f(x)+f(-x)=2g(x) 是偶函数 f(x)-f(-x)=2f(x)是奇函数 就可以了
证明任何一个函数都可一由一个奇函数和一偶函数相加得到
8楼：百了居士
设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2,
则f(x)=g(x)+h(x).
且g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),g(x)是偶函数。h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-[f(x)-f(-x)]/2=-h(x),h(x)是奇函数。
证明：任意一个奇函数总可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和。
9楼：匿名用户
证明：任意函数
f(x)，构造两个函数，g(x)，h(x)
其中：g(x)=(f(x)-f(-x))/2 h(x)=(f(x)+f(-x))/2
由于：g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x) h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)
所以g(x)为奇函数，h(x)为偶函数。
g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x)。
所以得证: 任意一个奇函数g(x)总可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和。
即：任意一个奇函数总可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和。
扩展资料
例：以下说法正确的是（）。
①定义在r上的任一函数，总可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和；
②若f（3）=f（-3），则函数f（x）不是奇函数；
③对应法则和值域相同的两个函数的定义域也相同；
④若x1是函数f（x）的零点，且m＜x1＜n，那么f（m）f（n）＜0一定成立。
分析：①设f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，则f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
两式联立得，g（x）=f(x)-f(-x))/2，h(x)=(f(x)+f(-x))/2，所以①正确。
②若函数f（x）是奇函数，则有f（-3）=-f（3），若f（3）=f（-3），则必有f（3）=f（-3）=0，所以当f（3）=f（-3）=0，函数有可能是奇函数，所以②错误。
③当函数的定义域和对应法则相同时，函数的值域相同，但值域相同时，定义域不一定相同，比如函数f（x）=x2，当定义域为[0，1]时，值域为[0，1]，当定义域为[-1，1]时，值域为[0，1]，所以③错误。
④若x1是函数f（x）的零点，则根据根的存在性定理可知，f（m）f（n）＜0不一定成立，比如函数f（x）=x2的零点是0，但f（m）f（n）＞0，所以④错误。
故答案为：①
10楼：匿名用户
设这个奇函数为f（x），则f（x）=（f（x）+f（-x）-f（-x）+f（x））/2
=（f（x）+f（-x））/2+（f（x）-f（-x））/2
根据定义知前者为偶函数后者为奇函数
证明：任何一个函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数之和
11楼：桃儿wj9烛
证明：若f（x）为定义在（-n，n）上的任意函数，则设g（x）=f(x)+f(?x)2，
h（x）=f(x)?f(?x)2；
易验证g（x）=g（-x），
-h（x）=h（-x），
所以g（x）为偶函数，h（x）为奇函数．
而f（x）=g（x）+h（x），
所以得证．
12楼：yechunhong叶子
不是任何一个函数都可以，定义域要关于原点对称
证明任意一个函数都可以由一个奇函数和一个偶函数组成
13楼：匿名用户
设函数y=f（
x）令f（x）=[f（x）+f（-x）]/2，则f（-x）=[f（-x）+f（x）]/2=f（x）
于是f（x）为偶函数
令g（x）=[f（x）-f（-x）]/2，则g（-x）=[f（-x）-f（x）]/2=-g（x）
则g（x）为奇函数
f（x）+g（x）=[f（x）+f（-x）]/2+）[f（x）-f（-x）]/2
=f（x）
于是任意f（x）可表示为偶函数f（x）=[f（x）+f（-x）]/2与奇函数g（x）=[f（x）-f（-x）]/2的和
任意函数都可表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求举个例子啊
14楼：匿名用户
对任意函
数f(x)，令g(x)=[f(x)+f(-x)]/2，h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x)，所以g(x)是偶函数
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x)，所以h(x)是奇函数
两式相加，g(x)+h(x)=f(x)
所以任意函数f(x)都能表示成一个奇函数和一个偶函数的和
特别地，若f(x)=x^2（偶函数）,则f(x)=x^2+0,其中g(x)=x^2是偶函数，
h(x)=0是既奇又偶函数（当然也是奇函数）。
若f(x)=x（奇函数）,则f(x)=x+0,其中h(x)=x是奇函数，
g(x)=0是既奇又偶函数（当然也是偶函数）。
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