已知函数f(x)ax+lnx,g(x)ex(I)当a

1楼:成熟

(i)函62616964757a686964616fe78988e69d8331333337373565

数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=(ax+lnx)′=a+1x,

1当a=0时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)为单调递增函数;

2当a<0时,f′(x)=0,得x=-1

a,当x∈(0,-1

a)时,f′(x)>0;当x∈(-1

a,+∞)时,f′(x)<0;

∴f(x)在(0,-1

a)为单调递增函数;在(-1

a,+∞)为单调递减函数;

(ii)由题意,不等式g(x)

x有解,即exx

因此只须m

,x∈(0,+∞),

设h(x)=x-exx

,x∈(0,+∞),h′(x)=1-ex(x+1

2x),因为x+1

2x≥21

2=2>1,且ex>1,∴1-ex(x+1

2x)<0,

故h(x)在(0,+∞)上是减函数,

∴h(x)

(iii)当a=0时,f(x)=lnx,f(x)与g(x)的公共定义域为(0,+∞),

|f(x)-g(x)|=|lnx-ex|=ex-lnx=ex-x-(lnx-x),

设m(x)=ex-x,x∈(0,+∞),

因为m′(x)=ex-1>0,m(x)在(0,+∞)上是增函数,m(x)>m(0)=1,

又设n(x)=lnx-x,x∈(0,+∞),

因为n′(x)=1

x-1,当x∈(0,1)时,n′(x)>0,n(x)在(0,1)上是增函数,

当x∈(1,+∞)时,n′(x)<0,n(x)在(1.+∞)上是减函数,

∴当x=1时,n(x)取得极大值,即n(x)≤n(1)=-1,

故|f(x)-g(x)|=m(x)-n(x)>1-(-1)=2.

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