1楼：小煜
对于a，函数f（x）=sin（π
2x）的周期是4，正弦函数的
性质我们易得，a=[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当a=[-1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．
对于b，当a=[-1，1]时，f（x）∈[-1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有a=[-1，1]一个．∴f（x）=2x2-1满足题意．
对于c，a=[m，n]为函数f（x）=2x+1的“可等域区间”，若f（x）=2x+1满足条件，则由
m+1＝m
n+1＝n
，即m，n是方程2x+1=x的两个根，设f（x）=2x+1-x，则f′（x）=2xln2-1，x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，方程无解，故不满足条件．
对于d，∵f（x）=log2（2x-2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），
若存在“可等域区间”，则满足
log(2m?2)＝m
log(2n?2)＝n
，即2m?2＝m
2n?2＝n
，∴m，n是方程2x-2x+2=0的两个根，设f（x）=2x-2x+2，f′（x）=2xln2-2，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，
∴f（x）=2x-2x+2=0不可能存在两个解，
故f（x）=log2（2x-2）不存在“可等域区间”．
故选：b．
对于函数f（x），若存在区间a=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈a}=a，则称函数f（x）为“和谐函数”，区间a
2楼：云雀你二了
①中，若f（x）=sin（π
2x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，a=[0，1]为函数的一个“和谐区间”；同时当a=[-1，0]时也是函数的一个“和谐区间”，∴不满足唯一性．
②中，若f（x）=2x2-1，当a=[-1，1]时，f（x）∈[-1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有a=[-1，1]一个．∴f（x）=2x2-1满足题意．
③中，由幂函数的性质我们易得，m=[0，1]为函数f（x）=|2x-1|的“和谐区间”，由幂函数的图象可和，满足条件的集合只有a=[0，1]一个．∴f（x）=|2x-1|满足题意．
④中，∵f（x）=ln（x+1）单调递增，且函数的定义域为（-1，+∞），
若存在“和谐区间”，则满足
ln(m+1)＝m
ln(n+1)＝n，即e
m?1＝men
?1＝n
，∴m，n是方程ex-x-1=0的两个根，设f（x）=ex-x-1，f′（x）=ex-1，当x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，
且f（0）=ex-x-1=0，故f（x）=2x-2x+2=0有且只有一个解，
故f（x）=ln（x+1）不存在“可等域区间”．
故存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为：②③．
故选：d
对于定义域为d的函数f（x），若存在区间m=[a，b]?d（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈m}=m，则称区间m为函数
3楼：就是勇哥
①对于函数f(x)＝(12)
x，若存在“等值区间”[a，b]，由于函数是定义域内的减函数，故有(12)
b=a，(12)
a=b，即（a，b），（b，a）点均在函数图象上，且两点关于y=x对称，两点只能同时是函数f(x)＝(12)
x，与函数y＝log12
x图象的唯一交点．即只能是a=b，故①不存在“等值区间”．
②对于函数f（x）=x3存在“等值区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x3∈[0，1]．
③对于 f（x）=log2x+1，由于函数是定义域内的增函数，故在区间[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函数存在“等值区间”[1，2]．
存在“等值区间”的函数的个数是2个
故答案为：2
对于函数f（x），若存在区间m=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈m}=m，则称区间m为函数f（x）的
4楼：手机用户
①中，若f（x）=（x-1）2存在“稳定区间”
如当0＜x＜1时，0＜y＜1．“稳定区间”：[0，1]；
②中，由幂函数的性质我们易得，m=[0，1]为函数f（x）=|2x-1|的“稳定区间”；
③中，由余弦型函数的性质我们易得，m=[0，1]为函数 f(x)＝cosπ
2x的“稳定区间”；
④中，若f（x）=ex存在“稳定区间”
则ea+1=a，eb+1=b
即ex=x-1有两个解，即函数y=ex与函数y=x-1的图象有两个交点，
这与函数y=ex与函数y=x-1的图象没有交点相矛盾，故假设错误，即f（x）=ex不存在“稳定区间”
故答案：①②③．
若存在区间m=[a，b]（a＜b）使得{y|y=f（x），x∈m}=m，则称区间m为函数f（x）的一个“稳定区间”．给出
5楼：手机用户
：①对于函数f（x）=ex 若存在“稳定区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有ea=a，eb=b，
即方程ex=x有两个解，即y=ex和y=x的图象有两个交点，这与即y=ex和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在“稳定区间”．
②对于f（x）=x3 存在“稳定区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x3 ∈[0，1]．
③对于f（x）=sinπ
2x，存在“稳定区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=sinπ
2x∈[0，1]．
④对于 f（x）=lnx，若存在“稳定区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有lna=a，且lnb=b，即方程lnx=x 有两个解，
即y=lnx 和 y=x的图象有两个交点，这与y=lnx 和 y=x的图象没有公共点相矛盾，故④不存在“稳定区间”．
故答案为 ②③．
对于函数f（x），若存在区间m=【a，b】（其阿红a＜b），使得{y|y=f（x），x∈m}=m，则称区间m为函数
6楼：良驹绝影
在区间[0，1]上的值域也是[0，1]，满足；
2、f(x)=|2^x－1|，在区间[0，1]上的值域也是[0，1]，满足；
3、f(x)=cos(π/2)x，在区间[0，1]上的值域也是[0，1]，满足；
4、f(x)=e^x，其值域是(0，＋∞)，结合函数图像，不存在区间[a，b]，使得这个函数在区间[a，b]上的值域也是[a，b]
本题正确的有：【1、2、3】
用曲线y=f(x)与y=x联立的话，可能会出现问题。【证明某个函数不满足，可以联立；证明满足的话，我觉得联立不合适】
7楼：数神
解：之所以将函数与y＝x联立，是因为y＝x是对任意的x∈［a，b］，都有y∈［a，b］
而若将函数比如①f（x）＝（x－1）∧2与y＝x联立！
解（x－1）∧2＝x得
x∧2－3x＋1＝0
其中△＝9－4＊1＝5＞0
所以有两个解，记为x1和x2
x1和x2也就是函数f（x）与y＝x的两个交点的横坐标！
∵x1、x2是y＝x上的点
∴x∈［x1，x2］时，必有y∈［x1，x2］因此，求函数的稳定区间就是看该函数f（x）＝x有没有解！有解则存在，无解则不存在！
下面选项就不一一说明了！说下第4个吧！
令e∧x＝x即e∧x－x＝0
令h（x）＝e∧x－x
则h'（x）＝e∧x－1
已知x＝0时，h（x）取最小值h（0）＝1＞0∴h（x）＞0，∴原方程无解！即不存在稳定区间！
8楼：匿名用户
区间正方形端点有无皆可
对于函数f（x），若存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[λm，λn]，则称f（x）为
9楼：那年的夏天
解：∵f（x）=ax（a＞1）为“1倍函数”，∴f（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，∵a＞1，
∴f（x）为增函数，
∴f(m)＝am＝m
f(n)＝an＝n
，即方程ax=x，有两个不同实数解，
设f（x）=ax，g（x）=x，
则f′（x）=axlna，g′（x）=1，令f′（x0）=g′（x0），即a
xlna=1，∴ax
=1lna
=logae，x0=loga（logae），如图可知g（x0）＞f（x0），
∴x0＞a
x，即loga（logae）＞logae，∵a＞1，
∴logae＞e＞0，
∴0＜logea＜1e，
∴1＜a＜e1e
，故选：c．
设函数 f(x)= 2x 1+|x| (x∈r) ，区间m=[a，b]（a＜b），集合n={y|y=f（x），x∈m}，则使m=n成
10楼：尹师兄
∵x∈m，m=[a，b]，
则对于集合n中的函数f（x）的定义域为[a，b]，对应的f（x）的值域为n=m=[a，b]．又∵f(x)=2x
1+|x| =
2-21+x
(x≥0)
-2+2
1-x(x＜0)
，故当x∈（-∞，+∞）时，函数f（x）是增函数．故n=[2a
1+|a|
，2b1+|b|
] ，由n=m=[a，b]得
a=0b=1
或a=-1
b=0或
a=-1
b=1，
故选c．
对于函数y=f(x),如果存在区间[m,n],同时满足下列条件:
11楼：匿名用户
一样不影响结果
-1/x是单调增函数
∴f(x)=-1/x+(a+1)/x是单调增函数∵f(m)=m
f(n)=n
即f(x)=x
∴-1/x+(a+1)/x=x有2个不等实根∴ax^2-(a+1)x+a=0
δ=(a+1)^2-4a^2>0
得(3a+1)(a-1)<0
-1/30
∴0。一正一负
x1+x2=-a<0
∴只有d符合
g'(-1)=0+a-1=a-1≠0
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12楼：匿名用户
f(x)存在和谐区间？？？这个可能吗？？？我怎么觉得不可能啊？？？
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