1楼:匿名用户
这是关于积分的第bai一中值
一般数学分析教材都有详细证明。证明思路:不妨设g(x)>0,首先利用闭区间上
答连续函数的最值定理得到不等式,
然后利用定积分的估值定理得到不等式
最后应用积分中值定理得到问题的结论
证明:(∫[a,b]f(x)g(x)dx)^2<=(∫[a,b]f^2(x)dx)(∫[a,b]g^2(x)dx)
2楼:匿名用户
^不妨设源a=0,将定积分恢复为原始定义的形式[σf(iδ
x)g(iδx)δx]^2<=σf(iδx)^2δx*σg(iδx)^2δx
即[σf(iδx)g(iδx)]^2<=σf(iδx)^2*σg(iδx)^2
这是柯西不等式
3楼:匿名用户
这个不等式的证明方法有很多,比如用二重积分;下面介绍一种利用一元二次方程判别式的方法:
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,证明:∫f(x)dx=f(a+b-x)dx
4楼:发了疯的大榴莲
证明:做变量替换a+b-x=t,则dx=-dt,当x=b,t=a,当x=a,t=b
于是∫(a,b)f(a+b-x)dx
=-∫(b,a)f(t)dt
= ∫(a,b)f(t)dt
=∫(a,b)f(x)dx
即∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(a+b-x)dx
5楼:匿名用户
^因为积分区域d关于直线y=x对称,所以二重积分满足轮换对称性,即∫∫(d) e^[f(x)-f(y)]dxdy=∫∫(d) e^[f(y)-f(x)]dxdy
=(1/2)*
=(1/2)*∫∫(d) dxdy
>=(1/2)*∫∫(d) 2*√dxdy=∫∫(d) dxdy
=(b-a)^2
已知f(x)在闭区间[a,b]内严格单增,而且是下凸函数,证明:∫(a,b)f(x)dx≤1/2(b-a)[f(a)+f(b)]
6楼:匿名用户
几何意义上说bai,曲线duf(x)与直线x=a,x=b,x轴围成的曲边梯形的面zhi积dao,要小於顶专
点为(a,0),(b,0),(a,f(a)),(b,f(b))的直角梯形的面积.这个自己结合图像属就能很清楚看出来我就不多说了.
严格证明的话也很简单.由下凸函数的定义,在区间[a,b]上,对於任意λ∈(0,1),都有f[λa+(1-λ)b]≤λf(a)+(1-λ)f(b)
令x=λa+(1-λ)b,那麼x∈(a,b).设点a(a,f(a)),b(b,f(b)),则直线ab方程为
y-f(a)=[f(b)-f(a)]/(b-a)*(x-a)(我设这条直线为g(x)=mx+n)
将x=λa+(1-λ)b代入ab方程,化简得y=λf(a)+(1-λ)f(b)
也就是说在[a,b]上恒有f(x)≤g(x)
根据定积分的性质,∫[a,b]f(x)dx≤∫[a,b]g(x)dx
∫[a,b]g(x)dx=∫[a,b](mx+n)dx
=1/m*1/2*(mx+n)2|[a,b]
=1/2*(b-a)*[f(a)+f(b)]
原不等式成立
设函数f(x)在区间上连续,证明:f(x)dx f(a+b-x)dx
1楼 发了疯的大榴莲 证明 做变量替换a b x t 则dx dt 当x b t a 当x a t b 于是 a b f a b x dx b a f t dt a b f t dt a b f x dx 即 a b f x dx a b f a b x dx 2楼 匿名用户 因为积分区域d关于直线...
a，bx-a）（b-x,∫（a，b）√［（x-a）（b-x）］dx
1楼 匿名用户 作换元t x a 则x t a dx dt 当x从a变到b时 t从0变化到b a 设b a k 则原式 0 k t k t dt 0 k 0 kt t dt 先求 0 kt t dt 有公式 把c 0 b k a 1代进去得到原函数为 2t k 4 kt t k 8 arcsin 2...
f(x)在连续且f(x)0，证明f(x)dx
1楼 匿名用户 本题要求f x 在 a b 上恒正 或恒负 左边 a b f x dx a b 1 f x dx积分变量可随便换字母 a b f x dx a b 1 f y dy这样变成一个二重积分 f x f y dxdy 其中 积分区域是a x b a y b 这个区域具有轮换对称性 1 2 ...