1楼：小影子快
这个题实际上是要说明对于复变函数而言，幂函数可能是多值的。所谓的多值，就是指对于一个自变量z，z^α会有多个取值。在实变函数里面，这种情况出现得比较少，只有反三角函数会出现多值，而且对这类多值函数取它们的“主值”，这时候多值函数就变成单值函数了。
但是在复变函数里面，为了考虑方程所有的根，这时候反而希望兼顾函数的所有值，而不是单个的值。在这个题，决定函数多值性的是整数k。当α为整数的时候，2kα必定是偶数，而函数exp(z)是周期函数，所以当自变量相差2πi的整数倍的时候，函数值是相同的，也就是说函数值和整数k无关，所以这个时候是单值的。
当α是有理数的时候，不妨假设α=p/q（既约分数），那么2kα=2kp/q。当k1和k2之间相差q的整数倍的时候，2k1α和2k2α之间的差也是偶数，这个时候还是因为exp(z)的周期性，从而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此当不同的k之间相差q的整数倍的时候，函数值是相等的。而如果不同的k之间相差不足q的整数倍，也就是说被q除还有余数，那么函数值就有可能不同。
因为不同的余数恰好有0,1,2,……,q-1共q种可能，所以会有q个值。这个时候，幂函数z^α是多值函数，且有q个值。当α是无理数的时候，就不满足整除余数的周期性了，所以对于不同的k值，就有不同的函数值，因此z^α函数也是多值函数，函数值的个数是可数无穷多个。
2楼：罗未家忆雪
这道题涉及到儒歇定理：设函数f(z),g(z)在闭路c及其内部解析（即内部处处可导）且在c上有不等式|f(z)|>|g(z)|，则在c的内部f(z)+g(z)和f(z)的零点个数相等
这道题就是把2.5代入
f(z)=z＾5,和g(z)=5z＾3+z-2|f(z)|>|g(z)|
根据儒歇定理可知z＾5=0与z＾5+5z＾3+z-2=0的根相同因为z＾5=0在有|z|<5／2内有五阶零点z=0，即f(z)=z＾5有5个零点,所以z＾5+5z＾3+z-2=0有五个根。即五个零点。
复变函数问题
3楼：fly划过的星空
这个题实际上是要说明对于复变函数而言，幂函数可能是多值的。所谓的多值，就是指对于一个自变量z，z^α会有多个取值。在实变函数里面，这种情况出现得比较少，只有反三角函数会出现多值，而且对这类多值函数取它们的“主值”，这时候多值函数就变成单值函数了。
但是在复变函数里面，为了考虑方程所有的根，这时候反而希望兼顾函数的所有值，而不是单个的值。在这个题，决定函数多值性的是整数k。当α为整数的时候，2kα必定是偶数，而函数exp(z)是周期函数，所以当自变量相差2πi的整数倍的时候，函数值是相同的，也就是说函数值和整数k无关，所以这个时候是单值的。
当α是有理数的时候，不妨假设α=p/q（既约分数），那么2kα=2kp/q。当k1和k2之间相差q的整数倍的时候，2k1α和2k2α之间的差也是偶数，这个时候还是因为exp(z)的周期性，从而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此当不同的k之间相差q的整数倍的时候，函数值是相等的。而如果不同的k之间相差不足q的整数倍，也就是说被q除还有余数，那么函数值就有可能不同。
因为不同的余数恰好有0,1,2,……,q-1共q种可能，所以会有q个值。这个时候，幂函数z^α是多值函数，且有q个值。当α是无理数的时候，就不满足整除余数的周期性了，所以对于不同的k值，就有不同的函数值，因此z^α函数也是多值函数，函数值的个数是可数无穷多个
复变函数的问题
4楼：有点傻
这里介绍一种简单的方法：把复数化为三角函数然后进行分部积分即可。 然后分别兑实部和虚部进行积分。
先求被积函数的原函数。 因此得到 【如果是不定积分，上式末尾应该加上常数c。】因此 同理可以求出 因此最后的结果为
一个复变函数问题
5楼：黄徐升
3^(3-i)=3^3*3^(-i)
=27*e^[ln(3)*(-i)]
=27*e^
=27*
=27*
复变函数的问题
6楼：徐少
解析：//欧拉公式(推导省略)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/2cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2～～～～～～～～～～～～～～～
设arctanz=θ，则tanθ=z
sinθ/cosθ=z
[e^(iθ)-e^(-iθ)]/[e^(iθ)+e^(-iθ)]=z/1
[2e^(iθ)]/[2e^(-iθ)]=(1+z)/(1-z)e^(2iθ)=(1+z)/(1-z)
ln[e^(2iθ)]=ln[(1+z)/(1-z)]2iθ=ln[(1+z)/(1-z)]
θ=[1/(2i)]●ln[(1+z)/(1-z)]此为公式：
arctanz=θθ=[1/(2i)]●ln[(1+z)/(1-z)]
～～～～～～～～～～～～～～～～～～
ps：//很早就看到你的问题了//
//早已收藏，忙，未回答//
//等比定理：
a/b=c/d[(b+a)/(b-a)]=[(d+c)/(d-c)]
7楼：韬子活宝
cosz=（e^iz+e^-iz）/2,sinz=（e^iz-e^-iz）/i2,tanz=sinz/cosz,设z=cosw,那么称w为z的反余弦函数,记作w=arccosz.由z=cosw==（e^iw+e^-iw）/2,得e^2iw-2ze^iw+1=0,方程的根为e^iw=z+根号（z^2-1）,两边取对数得arccosz=-iln（z+根号（z^2-1））.用上面同样的步骤可得到arctanz=-i/2ln【(1+iz)/(1-iz)】.
8楼：端祯青丽雅
并不是任何f(x,y)形式的函数都可以化成f(z)形式的式子。
例如:x+y.
x-iy,
2x+iy
等等。都不能化成f(z)的形式。
但是如果这个f(x,y)的确是z=x+iy的一个函数，那么就可以用你的老师给你的
方法直接写出来了。这是因为:假如f(x,y)=g(z)=g(x+iy).
在g(x+iy)中令y=0,得到g(x).把这个g(x)中的x换成z.就是g(z)
即:g(x+iy)中令y=0，x换成z.就得到g(z)。
注意f(x,y)=g(x+iy).
所以f(x,y)中令y=0，x换成z.就得到g(z)。[f(x,y)的z表示式!]。
(本题例子g(z)=i(2z-z).如果你不怕麻烦，可以用x=z-iy.代入原式。
化简之后，含y的项都会消去，最后只留下i(2z-z).)
9楼：改然钱如之
不可能，因为连续性导致f(0)=0,
然而解析函数0点都是孤立的(这是一个定理，需要使用级数表达式证明)，也就不可能在z=0附近有无穷多的零点。
10楼：腾秀荣夕衣
这个题实际上是要说明对于复变函数而言，幂函数可能是多值的。所谓的多值，就是指对于一个自变量z，z^α会有多个取值。在实变函数里面，这种情况出现得比较少，只有反三角函数会出现多值，而且对这类多值函数取它们的“主值”，这时候多值函数就变成单值函数了。
但是在复变函数里面，为了考虑方程所有的根，这时候反而希望兼顾函数的所有值，而不是单个的值。在这个题，决定函数多值性的是整数k。当α为整数的时候，2kα必定是偶数，而函数exp(z)是周期函数，所以当自变量相差2πi的整数倍的时候，函数值是相同的，也就是说函数值和整数k无关，所以这个时候是单值的。
当α是有理数的时候，不妨假设α=p/q（既约分数），那么2kα=2kp/q。当k1和k2之间相差q的整数倍的时候，2k1α和2k2α之间的差也是偶数，这个时候还是因为exp(z)的周期性，从而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此当不同的k之间相差q的整数倍的时候，函数值是相等的。而如果不同的k之间相差不足q的整数倍，也就是说被q除还有余数，那么函数值就有可能不同。
因为不同的余数恰好有0,1,2,……,q-1共q种可能，所以会有q个值。这个时候，幂函数z^α是多值函数，且有q个值。当α是无理数的时候，就不满足整除余数的周期性了，所以对于不同的k值，就有不同的函数值，因此z^α函数也是多值函数，函数值的个数是可数无穷多个。
11楼：光兰有昭
（u,v应该分别是f(z)的实部和虚部吧）由条件知au(x,y)+bv(x,y)=c。
两边对x求偏导，得a(u/x)+b(v/x)=0；
两边对y求偏导，得a(u/y)+b(v/y)=0。
而由f解析，由cauchy-riemann定理知u/x=v/y，u/y=-v/x，所以方程成为
a(u/x)-b(u/y)=0；
b(u/x)+a(u/y)=0。
其中a,b不全为零，易解得u/x=u/y=0，所以u是常数；
再由cauchy-riemann定理知v/x=v/y=0，所以v是常数。
所以f(z)是常数。证毕
复变函数问题？
12楼：电灯剑客
这里用的是一阶导数的cauchy积分公式, (sinz)'=cosz在pi/2处为0, 所以结果就是0, 不用管前面差一个2*pi*i的倍数
复变函数幅角问题,复变函数辐角函数问题
1楼 我是曾哥春哥 因为正切的定义是 90 到 90 ，在第二象限，反正切是个负角度 90到0 。定义是对的 复变函数辐角函数问题 2楼 沙丁鱼酱 不需要从定义出发去判断，而可以从一个定理 复变函数解析的充要条件 去判断。 对于复数z a bi a b r ，当a 0时，其辐角的正切值就是b a。其...
复变函数中求Argz的问题,复变函数辐角函数问题
1楼 匿名用户 加 的意义是让辐角落到大于0的范围， 因为arctan x 2 2 arctan4 3 0 而arg z 0简单地说就是 arg 3 4i arctan4 3其实原解法并不准确。 arg是辐角主值的表示符号，对于任意的复数z，有arg z 0 2 所以arg 3 4i arctan4...
复变函数第五题求辐角的问题,复变函数辐角函数问题
1楼 雾光之森 f z z 2 4z是复平面上的解析函数，故映射w z 2 4z是保形映射。 f z 2z 4，则f z 0 f 2i 4i 4，此复数的辅角主值为 4。故旋转角就是 4。 复变函数辐角函数问题 2楼 沙丁鱼酱 不需要从定义出发去判断，而可以从一个定理 复变函数解析的充要条件 去判断...