1楼：秘金生闾春
为什么二重积分算面积是因为：二重积分的几何意义是当z值为正时的曲顶柱体的体积，微元相当于投影面积。
设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域d上,将区域d任意分成n个子域δδi(i=1,2,3,…,n)，并以δδi表示第i个子域的面积.在δδi上任取一点(ξi,ηi),作和limn→∞
(n/i=1
σ(ξi,ηi)δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域d上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=limλ
→0（σf(ξi,ηi)δδi）
这时,称f(x,y)在d上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素,
d称为积分域,∫∫称为二重积分号.
同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
性质1：（积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即：∫∫
2楼：独吟独赏独步
因为二重积分定义的几何意义就是z值为正时曲顶柱体的体积，微元相当于 投影面积，被积函数相当于高。那么如果里面的被积函数值为1，就说明这个柱体的高被视为很小的定值，它相当于一个平面薄板，这个时候二重积分算的就是这个平面薄板的面积，也相当于它的体积。
3楼：张旺山
高很小值不代表就可以取1，这里的1是为了避开高的存在，就像可以用三重积分求体积一样，本来三重积分是用来求质量的，但是被积函数为1的时候其实避开了密度，体积乘以密度1获得的质量的数值和体积是一样的。放在二重积分之下，就是让积域乘以高度1，获得与积域面积数值相同的体积，尽管单位不一样，可是数值上和积域面积相同。
二重积分不是算体积的吗？为什么可以算面积？面积不是一次积分就能算出来吗？为什么要二重积分？
4楼：匿名用户
被积函数为1时，二重积分就是面积了。实际上是数值上等于面积，相当于曲顶柱体的顶是一个z=1的平面
5楼：匿名用户
可以算体积 也可算面积
平面上的面积用积分就行
三维空间里的面积需要二重积分
就如同一张纸 扑在桌子上 要普通积分
但是在空间中造成扭曲（比如揉成团）就要二重积分ps：二重积分表示两个未知数 有的体积只用普通积分也可算详情你去买本数学分析看看吧 这里说不清
二重积分可以计算面积吗？ 它不是计算体积的吗？
6楼：康伯伟
一楼的说法不对！
一重积分，可以计算长度，可以计算面积，也可以计算体积(最典型的是旋转体的体积)；
二重积分，可以计算面积，也可以计算体积。
三重积分，可以计算体积。
具体如何，一看被积函数，二看积分限怎么确定。
方法是活的，关键在于如何运用。
7楼：需字
§9.3 二重积分的应用
定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：
1、所要计算的某个量 对于闭区域 具有可加性(即:当闭区域 分成许多小闭区域 时, 所求量 相应地分成许多部分量 ,且 )。
2、在 内任取一个直径充分小的小闭区域 时, 相应的部分量 可近似地表示为 , 其中 , 称 为所求量 的元素, 并记作 。
(注: 的选择标准为: 是 直径趋于零时较 更高阶的无穷小量)
3、所求量 可表示成积分形式
一、曲面的面积
设曲面 由方程 给出, 为曲面 在 面上的投影区域,函数 在 上具有连续偏导数 和 ,现计算曲面的面积 。
在闭区域 上任取一直径很小的闭区域 (它的面积也记作 ),在 内取一点 ,对应着曲面 上一点 ,曲面 在点 处的切平面设为 。 以小区域 的边界为准线作母线平行于 轴的柱面, 该柱面在曲面 上截下一小片曲面,在切平面 上截下一小片平面,由于 的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。
曲面 在点 处的法线向量( 指向朝上的那个 )为
它与 轴正向所成夹角 的方向余弦为
而所以这就是曲面 的面积元素, 故
故【例1】求球面 含在柱面 ( ) 内部的面积。
解:所求曲面在 面的投影区域
曲面方程应取为 , 则
,曲面在 面上的投影区域 为
据曲面的对称性,有
若曲面的方程为 或 ,可分别将曲面投影到 面或 面,设所得到的投影区域分别为 或 ,类似地有
或二、平面薄片的重心
1、平面上的质点系的重心
其质点系的重心坐标为
,2、平面薄片的重心
设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 ,假定 在 上连续,如何确定该薄片的重心坐标 。
这就是力矩元素,于是
又平面薄片的总质量
从而,薄片的重心坐标为
特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则
十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。
【例2】设薄片所占的闭区域 为介于两个圆 ,
( )之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。
解: 由 的对称性可知:
而 故
三、平面薄片的转动惯量
1、平面质点系对坐标轴的转动惯量
设平面上有 个质点, 它们分别位于点 处, 质量分别为 。
设质点系对于 轴以及对于 轴的转动惯量依次为
2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量
设有一薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 , 假定 在 上连续。 现要求该薄片对于 轴、 轴的转动惯量 , 。
与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为
【例3】求由抛物线 及直线 所围成的均匀薄片(面密度为常数 )对于直线 的转动惯量。
解: 转动惯量元素为
四、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 ,假定 在 上连续,现计算该薄片对位于 轴上点 处的单位质量质点的引力。
于是,薄片对质点的引力 在三个坐标轴上的分力 的力元素为故
8楼：匿名用户
二重积分也可以计算体积的
9楼：匿名用户
一楼《angel说爱我》应该是初学者，还没有搞懂积分是怎么回事。
二楼《nbsuns》的说法，可以接受。
三楼《康伯伟》说的太棒了！
鉴定完毕！
10楼：angel说爱我
二重积分就是计算面积的 不是计算体积的
三重积分是计算体积的
为什么二重积分可以算面积？
11楼：vampire椋炩櫍
为什么二重积分算面积是因为：二重积分的几何意义是当z值为正时的曲顶柱体的体积，微元相当于投影面积。
设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域d上,将区域d任意分成n个子域δδi(i=1,2,3,…,n)，并以δδi表示第i个子域的面积.在δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→ ∞ (n/i=1 σ(ξi,ηi)δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域d上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=limλ →0（σf(ξi,ηi)δδi）
这时,称f(x,y)在d上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, d称为积分域,∫∫称为二重积分号.
同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
性质1：（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即：∫∫
二重积分求面积的意义
12楼：金坛直溪中学
二重积分的具体意义五花八门，具体什么意思要看被积函数是什么意义，还要看两个自变量的含义，下面列举几个例子供楼主参考：
1、如果被积函数是1，而且没有任何单位，而且两个自变量还得都得具有长度的意义，
那么积出来的是面积；
2、如果被积函数虽然是1，如果含有高度的单位，而两个自变量又恰恰都是长度量纲，
那么积出来的就是体积；
3、如果被积函数是质量密度的量纲，无论被积函数是不是1，只要两个自变量的单位
是长度的单位，积出来的就是质量；
4、如果被积函数是电荷密度的量纲，无论被积函数是不是1，只要两个自变量的单位
是长度的单位，积出来的就是电量；
5、如果被积函数是能量密度的量纲，无论被积函数是不是1，只要两个自变量的单位
是长度的单位，积出来的就是能量；
6、单从几何意义上来讲，除了体积之外，二重积分也有不同的含义：
a、可以是面积，dx是长度，dy是宽度，dxdy就是面积，如平面曲线包围的面积；
b、空间曲面的面积，只是积分时要考虑投影；
c、根据高斯定理，一个闭合体内的体积分，一般是三重积分，可以转化为闭合面
上的面积分。
总而言之，二重积分的具体意义，一看被积函数的意义，二看两个自变量的意义，才能决定。
二重积分不是求体积的吗为什么可以求面积
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