1楼：爽朗的吴登泽
二重积分物理意义是平面薄片的质量，几何意义是曲顶柱体的体积
二重积分既能算面积又能求体积？那我怎么知道求的是面积还是体积？ 与三重积分体积有什么不同？
2楼：洪洪最美丽呢
单从几何意义上来说，二重积分算的是体积；它的特例，当被积函数为1时，计算结果等效为面积。
几何上的解释就是，当高为1时，体积和底面积的数值相等。同理，三重积分在被积函数为1时，其几何意义才是体积。
二者的区别：
二重积分是在二维区域d上积分，如果把被积函数看做立体的高，得到的是体积；当被积函数为1即高等于1时，这个“体积”退化为面积。
三重积分是在立体区间ω上积分，当被函数为1，即是这个区域的体积。
二重积分怎么还能求表面积啊？不是求体积的吗？
3楼：上海皮皮龟
当被积表达式是面积元时，二重积分就表示面积。这就像定积分可以表示曲边梯形的面积，但如果被积表达式是弧长的微分时，定积分就表示曲线弧长。
4楼：快乐老亚索
学长你现在懂了没，到底是啥啊，我现在也很懵。
5楼：匿名用户
选取不同的被积函数，可以求各种东西。
6楼：仔福
理解角度问题，看图，
二重积分不是算体积的吗？为什么可以算面积？面积不是一次积分就能算出来吗？为什么要二重积分？
7楼：匿名用户
被积函数为1时，二重积分就是面积了。实际上是数值上等于面积，相当于曲顶柱体的顶是一个z=1的平面
8楼：匿名用户
可以算体积 也可算面积
平面上的面积用积分就行
三维空间里的面积需要二重积分
就如同一张纸 扑在桌子上 要普通积分
但是在空间中造成扭曲（比如揉成团）就要二重积分ps：二重积分表示两个未知数 有的体积只用普通积分也可算详情你去买本数学分析看看吧 这里说不清
为什么二重积分可以算面积？
9楼：vampire椋炩櫍
为什么二重积分算面积是因为：二重积分的几何意义是当z值为正时的曲顶柱体的体积，微元相当于投影面积。
设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域d上,将区域d任意分成n个子域δδi(i=1,2,3,…,n)，并以δδi表示第i个子域的面积.在δδi上任取一点(ξi,ηi),作和lim n→ ∞ (n/i=1 σ(ξi,ηi)δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域d上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=limλ →0（σf(ξi,ηi)δδi）
这时,称f(x,y)在d上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素, d称为积分域,∫∫称为二重积分号.
同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
性质1：（积分可加性）函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即：∫∫
二重积分可以计算面积吗？ 它不是计算体积的吗？
10楼：康伯伟
一楼的说法不对！
一重积分，可以计算长度，可以计算面积，也可以计算体积(最典型的是旋转体的体积)；
二重积分，可以计算面积，也可以计算体积。
三重积分，可以计算体积。
具体如何，一看被积函数，二看积分限怎么确定。
方法是活的，关键在于如何运用。
11楼：需字
§9.3 二重积分的应用
定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：
1、所要计算的某个量 对于闭区域 具有可加性(即:当闭区域 分成许多小闭区域 时, 所求量 相应地分成许多部分量 ,且 )。
2、在 内任取一个直径充分小的小闭区域 时, 相应的部分量 可近似地表示为 , 其中 , 称 为所求量 的元素, 并记作 。
(注: 的选择标准为: 是 直径趋于零时较 更高阶的无穷小量)
3、所求量 可表示成积分形式
一、曲面的面积
设曲面 由方程 给出, 为曲面 在 面上的投影区域,函数 在 上具有连续偏导数 和 ,现计算曲面的面积 。
在闭区域 上任取一直径很小的闭区域 (它的面积也记作 ),在 内取一点 ,对应着曲面 上一点 ,曲面 在点 处的切平面设为 。 以小区域 的边界为准线作母线平行于 轴的柱面, 该柱面在曲面 上截下一小片曲面,在切平面 上截下一小片平面,由于 的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。
曲面 在点 处的法线向量( 指向朝上的那个 )为
它与 轴正向所成夹角 的方向余弦为
而所以这就是曲面 的面积元素, 故
故【例1】求球面 含在柱面 ( ) 内部的面积。
解:所求曲面在 面的投影区域
曲面方程应取为 , 则
,曲面在 面上的投影区域 为
据曲面的对称性,有
若曲面的方程为 或 ,可分别将曲面投影到 面或 面,设所得到的投影区域分别为 或 ,类似地有
或二、平面薄片的重心
1、平面上的质点系的重心
其质点系的重心坐标为
,2、平面薄片的重心
设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 ,假定 在 上连续,如何确定该薄片的重心坐标 。
这就是力矩元素,于是
又平面薄片的总质量
从而,薄片的重心坐标为
特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则
十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。
【例2】设薄片所占的闭区域 为介于两个圆 ,
( )之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。
解: 由 的对称性可知:
而 故
三、平面薄片的转动惯量
1、平面质点系对坐标轴的转动惯量
设平面上有 个质点, 它们分别位于点 处, 质量分别为 。
设质点系对于 轴以及对于 轴的转动惯量依次为
2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量
设有一薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 , 假定 在 上连续。 现要求该薄片对于 轴、 轴的转动惯量 , 。
与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为
【例3】求由抛物线 及直线 所围成的均匀薄片(面密度为常数 )对于直线 的转动惯量。
解: 转动惯量元素为
四、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 ,假定 在 上连续,现计算该薄片对位于 轴上点 处的单位质量质点的引力。
于是,薄片对质点的引力 在三个坐标轴上的分力 的力元素为故
12楼：匿名用户
二重积分也可以计算体积的
13楼：匿名用户
一楼《angel说爱我》应该是初学者，还没有搞懂积分是怎么回事。
二楼《nbsuns》的说法，可以接受。
三楼《康伯伟》说的太棒了！
鉴定完毕！
14楼：angel说爱我
二重积分就是计算面积的 不是计算体积的
三重积分是计算体积的
为什么二重积分可以算面积
15楼：秘金生闾春
为什么二重积分算面积是因为：二重积分的几何意义是当z值为正时的曲顶柱体的体积，微元相当于投影面积。
设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域d上,将区域d任意分成n个子域δδi(i=1,2,3,…,n)，并以δδi表示第i个子域的面积.在δδi上任取一点(ξi,ηi),作和limn→∞
(n/i=1
σ(ξi,ηi)δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域d上的二重积分,记为∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=limλ
→0（σf(ξi,ηi)δδi）
这时,称f(x,y)在d上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)dδ称为被积表达式,dδ称为面积元素,
d称为积分域,∫∫称为二重积分号.
同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
性质1：（积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即：∫∫
16楼：独吟独赏独步
因为二重积分定义的几何意义就是z值为正时曲顶柱体的体积，微元相当于 投影面积，被积函数相当于高。那么如果里面的被积函数值为1，就说明这个柱体的高被视为很小的定值，它相当于一个平面薄板，这个时候二重积分算的就是这个平面薄板的面积，也相当于它的体积。
17楼：张旺山
高很小值不代表就可以取1，这里的1是为了避开高的存在，就像可以用三重积分求体积一样，本来三重积分是用来求质量的，但是被积函数为1的时候其实避开了密度，体积乘以密度1获得的质量的数值和体积是一样的。放在二重积分之下，就是让积域乘以高度1，获得与积域面积数值相同的体积，尽管单位不一样，可是数值上和积域面积相同。
二重积分求面积、求体积问题
18楼：匿名用户
简单的说，∫∫dxdy,一定是求面积。∫∫f(x,y)dxdy,就是求体积——你可以把它看做一重积分
后再次积分，你知道一重积分是求面积吧，那么二重就是体积，特例是当函数为1时，表示物体高为0，仅仅由长宽表示在xy轴上
19楼：我行我素
积分是一种数学工具，可以求面积、体积、长度等等，只要可化为函数微元求和的问题都可用积分法解决，具体问题具体分析，没有一定限制，一般情况下，单重积分可求长度、面积、体积，二重积分可求体积、质量、重量，三重积分可求体积、质量、重量，
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