1楼：匿名用户
积分的几何意义：
定积分是区域面积
不定积分是原函数
为什么定积分可以求面积
2楼：援手
这个问题问得好，其实我觉得课本中讲定积分时一上来不应该把定积分的记号记为∫，定积分的定义是某类求和式的极限，但不定积分是求函数的原函数，初学者很难看出这两者有什么关系（我就想了好半天）。姑且先把定积分理解为和式极限，接下来课本中讲了定积分的性质及变上限积分的理论，注意在这部分课本的证明中没有用到任何不定积分（即求原函数）的内容。最后的微积分基本定理是关键，它是说一个函数在[a,b]的定积分（和式极限）可以表示为函数的原函数在a,b点函数的原函数值的差，而求原函数就是不定积分，所以将不定积分与定积分联系起来的是微积分基本定理。
3楼：匿名用户
你把它看成小矩形，那么f（x）代表高，dx代表宽，无数个小矩形面积加起来就是总面积了.定积分就是为了求不规则面积才诞生的
4楼：姬彩荣况娟
1、积分的意思是累积，是accumulation，是summation，是integration，也就是
累积、总和、整合的意思。
2、从定积分的定义来看，∫f(x)dx
=lim
∑f(xi)△x，原意应该就是将曲线下的面积
分割成无数的细高的矩形，矩形的底宽是△x，当分割趋向于无穷多份时，△x
变成了dx，△x是有限的小，dx表示的是无限的小，而f(x)则变成了底宽为无穷
小的矩形的高度，f(x)dx就是它的面积了。
3、lebniz当初的研究，根本没有微分、导数的概念，是完全独立的研究，发表的
研究结果，也比newton早，为此还成了国际公案，由于牛顿的名气，使得太多
的人附趋牛顿，认为微积分的发明权归因于牛顿。所以，积分可以找原函数，
可说是lenbiz歪打正着的结果。
4、至于积分的意义，事实上有两种明显的运用，只是一般的人所理解的积分，
只是以为积分就是可以计算面积、体积、位移、电量、热能、、、、、之类的
广延量extensity；而在国外的教科书上，主要是科技教科书上，常常专门讲解
superposition，我们只是眼高手低地翻译成叠加原理，对superposition的理解
停留在自圆其说的层次上，其实这一类的intensity的积分，是完全平分秋色的。
可惜的是，很多人学完微积分，并没有能make
sense。
为什么定积分可以求面积？
5楼：良田围
1、积分的意思是累积，是accumulation，是summation，是integration，也就是
累积、总和、整合的意思。
2、从定积分的定义来看，∫f(x)dx = lim ∑f(xi)△x，原意应该就是将曲线下的面积
分割成无数的细高的矩形，矩形的底宽是△x，当分割趋向于无穷多份时，△x
变成了dx，△x是有限的小，dx表示的是无限的小，而f(x)则变成了底宽为无穷
小的矩形的高度，f(x)dx就是它的面积了。
3、lebniz当初的研究，根本没有微分、导数的概念，是完全独立的研究，发表的
研究结果，也比newton早，为此还成了国际公案，由于牛顿的名气，使得太多
的人附趋牛顿，认为微积分的发明权归因于牛顿。所以，积分可以找原函数，
可说是lenbiz歪打正着的结果。
4、至于积分的意义，事实上有两种明显的运用，只是一般的人所理解的积分，
只是以为积分就是可以计算面积、体积、位移、电量、热能、、、、、之类的
广延量extensity；而在国外的教科书上，主要是科技教科书上，常常专门讲解
superposition，我们只是眼高手低地翻译成叠加原理，对superposition的理解
停留在自圆其说的层次上，其实这一类的intensity的积分，是完全平分秋色的。
可惜的是，很多人学完微积分，并没有能make sense。
6楼：匿名用户
把被积函数在积分区间上无限分割，那么在很小的自变量增量的情况下，函数值可认为近似不变，比如速度时间函数图像，在微分区间上可认为是匀速运动，这样的话，面积（面积=速度*时间）就是路程的数值了。一句话说，就是曲线的局部线性化处理。至于，定积分可求面积，是有它本身的定义决定的。
，即∫f(x)dx = lim ∑f(xi)△x。f(xi)△x的含义即为面积。
定积分跟面积有什么关系
7楼：我的我451我
定积分可以用来寻找面积, 但定积分不等于面积, 因为定积分可以是负的, 但面积是正的。
因此, 当积分的曲线被划分为 x 轴时, 分割 (超过0和小于 0) 分别计算, 然后正积分加上负积分的绝对值相等一个区域是表示平面中的二维图形或形状或平面图层的维度数。
表面积是三维物体二维曲面上的模拟器。
该区域可以理解为具有给定厚度的材料的数量, 并且该区域对于形成形状的模型是必要的。
一个函数, 可以有不确定的积分, 没有定积分, 也可以有定积分, 也可以没有不确定的积分。
一个连续函数, 必须有确定积分和不确定积分, 如果只有一个有限的不连续性点, 那么确定积分存在, 如果有跳不连续性点, 那么原来的函数就不能存在, 即,不确定积分不能存在。
8楼：demon陌
定积分可以用来求面积，但定积分不等于面积，因为定积分可以是负数但面积是正的，因此，当所求积分的曲线跨越x轴时，需分段（分大于零和小于零）分别计算，然后正的积分加上负的积分的绝对值，就等于面积。
面积是表示平面中二维图形或形状或平面层的程度的数量。表面积是三维物体的二维表面上的模拟物。面积可以理解为具有给定厚度的材料的量，面积是形成形状的模型所必需的。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
9楼：匿名用户
定积分的几何意义，就是封闭曲线的面积。
为什么定积分等于函数面积，坐等高手解答
10楼：江淮一楠
微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。
分划的参数趋于零时的极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。
不定积分：即已知导数求原函数。若f′（x)=f(x)，那么[f(x)+c]′=f(x).
(c∈r).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到f(x），因为f(x)+c的导数也是f(x）（c是任意常数）。所以f(x）积分的结果有无数个，是不确定的。
我们一律用f(x)+c代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
定积分 （definite integral）：定积分就是求函数f(x）在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(x）所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
定积分2定义
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],…,(xi,b]，可知各区间的长度依次是：△x1=x0-a，△x2=x1-x0,…，△xi=b-xi.在每个子区间（xi-1,xi）任取一点ξi(i=1,2,…,n），作和式（见右下图），设λ=max(即λ属于最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为（见右下图）：
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积，定积分是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。
3黎曼积分：定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。
实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.
我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式呢？
4分点问题：定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距δx是相等的。
但是必须指出，即使δx不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”s=f(x1）δx1+f(x2）δx2+……f[x(n-1)]δx(n-1），那么当n→+∞时，δx的最大值趋于0，所以所有的δx趋于0，所以s仍然趋于积分值.
利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。例如我们可以证明对于函数f(x)=x^k（k∈q，k≠-1），有f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。
我们选择等比级数来分点，令公比q=n^√（b/a），则b/a=q^n，b=aq^n。令分点x0=a,x1=aq,x2=aq^2……xn=aq^n=b，因为f(xj)=xj^k=a^k*q^jk，且δxj=x(j+1)-xj=aq^(j+1)-aq^j 那么“矩形面积和”
sn=a^k*(aq-a)+a^k*q^k*(aq^2-aq)+a^k*q^2k*(aq^3-aq^2)+……+a^k*q^(n-1)k*[aq^n-aq^(n-1)]
提出a^k*(aq-a），则
sn=a^(k+1)*(q-1)*[1+q^(k+1)+q^2(k+1)+……q^(n-1)(k+1)]
利用等比级数公式，得到
sn=(q-1)/(q^(k+1)-1)*(b^(k+1)-a^(k+1))=(b^(k+1)-a^(k+1))/n
其中n=(q^(k+1)-1)/(q-1），设k=u/v(u,v∈z），令q^(1/v)=s，则
n=(s^(k+1)v-1)/(s^v-1)=(s^u+v-1)/(s^v-1)=((s^(u+v)-1)/(s-1))/((s^v-1)/(s-1))
令n增加，则s,q都趋于1，因而n的极限为（u+v)/v=u/v+1=k+1.
5性质①：常数可以提到积分号前。
性质②：代数和的积分等于积分的代数和。
③：定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个
子区间[a,c]与（c,b]则有（见右图）
④risch 算法
⑤如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则f(x)dx≥0
6常用算法
换元法（1）f(x)∈c([a,b]);
(2)x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;
(3)当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,
则f(x)dx=f(ψ(t))ψ′(t)dt
分部积分法
设u=u(x),v=（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈r（[a,b]),则有分部积分公式
uv′dx= uvvu′dx
7基本定理
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个
数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：
如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有f′（x)=f(x），那么 f(x)dx=f(b)-f(a)
用文字表述为：一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
8应用1，解决求曲边图形的面积问题
例：求由抛物线y^2=4x与直线y=2x-4围成的平
定积分的应用(4张)
面图形d的面积s.
2，求变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t）≥0）在时间区间[a,b]上的定积分。
3，变力做功
某物体在变力f=f(x）的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于f=f(x）在[a,b]上的定积分。（见图册“应用”）
9定理定理1：设f(x）在区间[a,b]上连续，则f(x）在[a,b]上可积。
定理2：设f(x）在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x）在[a,b]上可积。
定理3：设f(x）在区间[a,b]上单调，则f(x）在[a,b]上可积。
不定积分公式几何意义,可以把不定积分的几何意义看作是面积吗？ 30
1楼 它是针对导数来讲的，就是导数的反定义。 几何意义就是求在坐标轴上的曲线的曲线长度 可以把不定积分的几何意义看作是面积吗？ 30 2楼 匿名用户 不定积分是没有上下限的，积分出来的结果后面要加上常数c，定积分有上下限，积出来是一个数，虽然上限是x，只是说这个数和x的变化有关，也可以理解为面积随着...
定积分和不定积分的几何意义的区别是什么
1楼 哈三中董森 你说的对。定积分是有几何意义的，而不定积分没有几何意义。 2楼 卷静秀牧良 不定积分计算的是原函数 得出的结果是 一个式子 定积分计算的是具体的数值 得出的借给是一个具体的数字 不定积分是微分的逆运算 而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减 积分积分，时一个积累起来的分数，...
高等数学中的定积分面积求助，谢谢
1楼 一世诸行 你要知道定积分求面积的含义 定积分求面积是把图像微分成很多小部分，每一小部分看成一个小矩形，面积就是底 x轴 乘以高 y轴 。在此，y就是图像曲线函数 2楼 体育wo最爱 因为在第一象限部分，其积分单元是从x x x上小正方形的面积这个小长方形的长是 x x x x，宽就是x对应的y...