1楼：匿名用户
积分的概念其实就是微元法，每种积分的积分区域都是代表了它被界定的范围。根据专微元法，在二重积属分中其积分区域每一个细微的部分都是一个小面，代表着面积，而被积函数代表一个数值也就是高，面积乘以高代表着二重积分的几何意义：体积。
三重积分也可以这样理解，但是几何意义就没法说了。
二重积分和三重积分的区别 都可以算体积吗
2楼：阿楼爱吃肉
一、两者的实质不同：
1、二重积分的实质：表示曲顶柱体体积。
2、三重积分的实质：表示立体的质量。
二、两者的概述不同：
1、二重积分的概述：二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。
重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
2、三重积分的概述：设三元函数f（x,y,z）在区域ω上具有一阶连续偏导数，将ω任意分割为n个小区域，每个小区域的直径记为r（i=1,2,...,n），体积记为δδ，||t||=max；
在每个小区域内取点f（ξ，η，ζ），作和式σf（ξ，η，ζ）δδ，若该和式当||t||→0时的极限存在且唯一，则称该极限为函数f（x,y,z）在区域ω上的三重积分，记为∫∫∫f（x,y,z）dv，其中dv=dxdydz。
三、两者的数学意义不同：
1、二重积分的数学意义：在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和d底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
2、三重积分的数学意义：如果空间闭区域g被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在g上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。
二重积分和三重积分并不都是可以用来计算体积的。二重积分可以用来计算体积，而三重积分不可以用来计算体积。
3楼：學雅思
不都可以，二重积分可以计算体积，三重积分计算重量。区别如下：
一、指代不同
1、二重积分：是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。
2、三重积分：和式当||t||→0时的极限存在且唯一(即与ω的分割和点的选取无关)，则称该极限为函数f(x,y,z)在区域ω上的三重积分。
二、几何意义不同
1、二重积分：二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和d底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
2、三重积分：三重积分就是立体的质量。当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。
三、应用不同
1、二重积分：用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。
2、三重积分：适用于被积区域ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法。
4楼：别扭的齐刘海
都可以三重积分表示体积要复杂一些,因为他多一个轴.
二重积分体积相对简单,他只是三重积分的特殊的一个形式.被积函数里少含一个
对于一个文字描述的应用题来说(求体积的),它即可以用二重积分的形式来做,也可以用三重积分来做,而且如果你在计算三重积分的时候能够仔细一点的话,你会发现,三重积分通过适当的坐标系选择,就能转换成二重积分的,而且这个二重积分的形式和之前直接列的式子是完全相同的.因为在解三重积分时,都是先转换成二重的,再转换成一重的(通过柱坐标系,球坐标,这都是二重的特殊情况,本质上还是二重的).这就从某一个角度说明三重和二重是相通的,不知道我说的你明白不?
三重积分和二重积分求体积有什么区别？
5楼：匿名用户
二重积分是求体积的，三重积分是求质量的，这只是一个比喻而已，三重积分是在二重积分的基础上再积一次
求大神告知二重积分和三重积分求体积的区别，最好举例
6楼：匿名用户
二重积分是在平面区域上积分，几何意义上算的是体积。平面的积分区域可以看成立体的底面积，被积函数是高，这样底面积乘以高得到体积。
三重积分在立体空间积分，几何意义上算的是质量。立体空间的积分区域就是体积，被积函数可以看成密度，体积乘以密度得到质量。特别地，当被积函数为1，也就是密度等于1，此时体积和质量在数值上是相等的。
于是乎，三重积分也能用来求体积了。
下面举个半球体积和圆柱体积的例子，体会一下二重积分和三重积分的列式：
二重积分于三重积分求体积的区别
7楼：匿名用户
三重积分〉二重积分
后者是前者的一种解法，你必须要找到可以用x,y共同表示的函数u,v来代替z时，才可以用2重积分（w=u+vi为调和函数）
一般的图形你总可以找到关系式，所以不成问题。可一些不规则图形x=f(z,y),y=g(x,z),z=m(x,y)就不能这样了
8楼：匿名用户
其实计算体积不一定要用2重或三重其实单重积分也可以计算的,例如利用积分推导球的体积公式,虽然能在1重2重或三重积分中用但是其原理是一样的都是利用无限累积这一概念的延伸.
利用多重积分不过就是解决在单重积分中所不能表达的复杂多元变量.
二重积分既能算面积又能求体积？那我怎么知道求的是面积还是体积？ 与三重积分体积有什么不同？
9楼：洪洪最美丽呢
单从几何意义上来说，二重积分算的是体积；它的特例，当被积函数为1时，计算结果等效为面积。
几何上的解释就是，当高为1时，体积和底面积的数值相等。同理，三重积分在被积函数为1时，其几何意义才是体积。
二者的区别：
二重积分是在二维区域d上积分，如果把被积函数看做立体的高，得到的是体积；当被积函数为1即高等于1时，这个“体积”退化为面积。
三重积分是在立体区间ω上积分，当被函数为1，即是这个区域的体积。
二重积分和三重积分的区别 ？都可以算体积吗？
10楼：我爱枞吧
二重积分：有两个自变量z = f(x，y)
当被积函数为1时，就是面积(自由度较大)
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = a(平面面积)
当被积函数不为1时，就是图形的体积(规则)、和旋转体体积
∫(a→b) ∫(c→d) dxdy = v(旋转体体积)
计算方法有直角坐标法、极坐标法、雅可比换元法等
极坐标变换：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) f(rcosθ，rsinθ) r drdθ
三重积分：有三个自变量u = f(x，y，z)
被积函数为1时，就是体积、旋转体体积(自由度最大)
∫(a→b) ∫(c→d) ∫(e→f) dxdydz = v(旋转体体积)
当被积函数不为1时，就没有几何意义了，有物理意义等
计算方法有直角坐标法、柱坐标切片法、柱坐标投影法、球面坐标法、雅可比换元法等
极坐标变化(柱坐标)：{ x = rcosθ
{ y = rsinθ
{ z = z
{ h ≤ r ≤ k
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(h→k) ∫(z→z) f(rcosθ，rsinθ，z) r dzdrdθ
极坐标变化(球坐标)：{ x = rsinφcosθ
{ y = rsinφsinθ
{ z = rcosφ
{ h ≤ r ≤ k
{ a ≤ φ ≤ b、最大范围：0 ≤ φ ≤ π
{ α ≤ θ ≤ β、最大范围：0 ≤ θ ≤ 2π
∫(α→β) ∫(a→b) ∫(h→k) f(rsinφcosθ，rsinφsinθ，rcosφ) rsinφ drdφdθ
所以越上一级，能求得的空间范围也越自由，越广泛，但也越复杂，越棘手，而
且限制比上面两个都少，对空间想象力提高了。
重积分能化为几次定积分，每个定积分能控制不同的伸展方向。
又比如说，在a ≤ x ≤ b里由f(x)和g(x)围成的面积，其中f(x) > g(x)
用定积分求的面积公式是∫(a→b) [f(x) - g(x)] dx
但是升级的二重积分，面积公式就是∫(a→b) dx ∫(g(x)→f(x)) dx、被积函数变为1了
用不同积分层次计算由z = x + y、z = a围成的体积？
一重积分(定积分)：向zox面投影，得z = x、令z = a --> x = ± a、采用圆壳法
v = 2πrh = 2π∫(0→a) xz dx = 2π∫(0→a) x dx = 2π (1/4)[ x ] |(0→a) = πa/2
二重积分：高为a、将z = x + y向xoy面投影得x + y = a
所以就是求∫∫(d) (x + y) dxdy、其中d是x + y = a
v = ∫∫(d) (x + y) dxdy = ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr、这步你会发觉步骤跟一重定积分一样的
= 2π (1/4)[ r ] |(0→a) = πa/2
三重积分：旋转体体积，被积函数是1，直接求可以了
柱坐标切片法：dz：x + y = z
v = ∫∫∫(ω) dxdydz
= ∫(0→a) dz ∫∫dz dxdy
= ∫(0→a) πz dz
= π [ z/2 ] |(0→a)
= πa/2
柱坐标投影法：dxy：x + y = a
v = ∫∫∫(ω) dxdydz
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→a) r dr ∫(r→a) dz
= 2π ∫(0→a) r (a - r) dr
= 2π [ ar/2 - (1/4)r ] |(0→a)
= 2π [ a/2 - (1/4)a ]
= πa/2
三重积分求体积时能用的方法较多，就是所说的高自由度。
既然都说了这麼多，再说一点吧：
如果再学下去的话，你会发现求(平面)面积、体积 比 求(曲面)面积的公式容易
学完求体积的公式，就会有求曲面的公式
就是「曲线积分」和「曲面积分」，又分「第一类」和「第二类」
当被积函数为1时，第一类曲线积分就是求弧线的长度，对比定积分只能求直线长度
∫(c) ds = l(曲线长度)
被积函数不为1时，就是求以弧线为底线的曲面的面积
∫(c) f(x，y) ds = a(曲面面积)
当被积函数为1时，第一类曲面积分就是求曲面的面积，对比二重积分只能求平面面积
∫∫(σ) ds = a(曲面面积)、自由度比第一类曲线积分大
∫∫(σ) f(x，y，z) ds，物理应用、例如曲面的质量、重心、转动惯量、流速场流过曲面的流量等
而第二类曲线积分/第二类曲面积分以物理应用为主要，而且是有"方向性"的，涉及向量范围了。
这两个比较复杂，概念又深了一层，慢慢体会，多做题
一重积分求面积，二重积分求体积，三重积分求什么
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