1楼：定尔芙赛纬
设a1,a2,...,as
是某向量组中的一个线性无关部分组
扩充步骤如下:
任取向量组中一个向量β
考虑向量β是否可由a1,a2,...,as线性表示(1)若β可由a1,a2,...,as线性表示则放弃此向量
(2)若β不能由a1,a2,...,as线性表示则添加此向量得线性无关的部分组a1,a2,...,as,a(s+1):=β
这个部分组为什么线性无关:
设k1a1k2a2+...+ksas+kβ=0由于β不能由a1,a2,...,as线性表示,所以有k
=0所以
k1a1k2a2+...+ksas=0.
再由a1,a2,...,as
线性无关,
k1=k2=...=ks=0
故a1,a2,...,as,β
线性无关.
如此进行下去,
遍历整个原向量组,
得一扩充的部分组:
a1,a2,...,ar
满足:1)
线性无关
2)原向量组中任一向量都可由此部分组线性表示故a1,a2,...,ar即为一个极大无关组.
证明：若一个向量组线性无关，则它的任何一个部分向量组也线性无关。
2楼：匿名用户
反证法：若某一个部分向量组线性相关，则原向量组线性相关设原向量组为x1,x2……xn,如果某个部分向量组线性相关比如x1,x2,x3,
就是说a1*x1+a2*x2+a3*x3=0 时，a1,a2,a3,不全为0，则对b1*x1+b2*x2+……bn*xn=0
令b1=a1,b2=a2,b3=a3,b4=b5=……=bn=0该式成立，就是b1到bn不全为0
所以原向量组线性相关
3楼：匿名用户
反证法向量组线性无关
假设部分向量组 , 是1,2,...,n的一个子集若线性相关
则存在不全为零的数列，
使得sigma kni ani =0
然后把向量组补全，令补上的向量的kn全是0 （kni依旧不变）我们就有
sigma kn an =0, 其中kn不全为零，这与原线性向量组线性无关矛盾
所以矛盾
原结论成立
怎样证明一组向量线性相关或者线性无关
4楼：demon陌
把向量组的各列向量拼成一个矩阵，求出矩阵的秩。若秩小于向量个数，则向量组线性相关；若秩等于向量个数，则向量组线性无关。
例如在三维欧几里得空间r的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, 1, 1)，(1, 0, 1)和(3, 1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。
5楼：匿名用户
最直观的方法，就是把这些向量组成一个矩阵，然后用初等行变换将之变成只含1和0的矩阵；
然后观察每列的元素，如果某一列能够被其他列线性计算表示，则说明是线性相关，反之线性无关。
例如：a=[1 0 0]t 和b= [010]t 和c= [001]t， 他们之间是没办法 用 a = b*b+c*c 来表示的，或者找不到b和c，使得 a = b*b+c*c成立， 此时说明a和b c线性无关。 反之，如果能找到b和c，使得 a = b*b+c*c成立，那么a和b c线性无关
证明线性无关的方法 如图，为什么一个线性无关组乘以一个可逆矩阵，得到的矩阵里的向量组也线性无关？ 20
6楼：匿名用户
右乘可逆矩阵等同于对原矩阵进行初等列变换，初等变换不改变线性无关性。
在一组数据中有一个或者多个量可以被其余量表示。线性无关，就是在一组数据中没有一个量可以被其余量表示。从维数空间上讲，例如，一个三维空间，那么必须用三个线性无关的向量来表示，如果在加上另外一个向量，那么这个向量必然可以由上述三个向量唯一的线性表出。
在三维空间里，互相垂直的三个坐标轴就是一组最简单的现行无关的向量。并且是三维空间上的极大无关组。其实，只要是不在同一平面的三个互不平行的向量都可以组成三维空间上的极大无关组。
那也就是线性无关的。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”
理解这句话的关键，在于把“线性变换”与“线性变换的一个描述”区别开。一个是那个对象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。
如果还不形象，那就干脆来个很俗的类比。
矩阵a式n阶可逆矩阵的等价条件:
1、a的行列式不等于0
2、a的秩等于n，即a为满秩矩阵
3、a的行（列）向量组线性无关
4、齐次方程组ax=0只有零解
5、对于任意b属于rn(n为上标，表示向量空间)，ax=b总有唯一解
6、a与单位矩阵等价
7、a可表示成若干个初等矩阵的乘积
8、a的列向量可以作为n维向量空间rn(n为上标)的一组基
9、rn中任意一个向量都可以由a的列向量线性表出
10、a的特征值全不为0
11、at·a是正定矩阵(其中t为上标，表示a的转置)
12、a是非奇异的
7楼：raptor韩韩
a1,a2,a3...as线性无关，则r(a1,a2,a3...as)=s，如果a可逆r(a(a1,a2,a3...
as))=r((a1,a2,a3...as)a)=r(a1,a2,a3...as)=s，即aa1,aa2,aa3...
aas和a1a,a2a,a3a...asa都线性无关
怎样证明一组向量线性相关或者线性无关
1楼 demon陌 把向量组的各列向量拼成一个矩阵，求出矩阵的秩。若秩小于向量个数，则向量组线性相关 若秩等于向量个数，则向量组线性无关。 例如在三维欧几里得空间r的三个矢量 1 0 0 ， 0 1 0 和 0 0 1 线性无关 但 2 1 1 ， 1 0 1 和 3 1 2 线性相关，因为第三个是...
向量组线性无关的问题，求解,向量组线性无关问题，如图，已知正确答案选B求过程。
1楼 匿名用户 1 设一个向量组 里面有r个向量 他们线性无关 2 另有一个向量组 里面有s个向量 并且第一个向量组中的任意一个向量 都可以由第二个向量组中的向量线性表示 3 s大于等于r 4 第一个向量组中的r个向量 第二个向量组中任意s r个向量 组成的新的s个向量 这个向量组等价于第二个说的那...
两个向量组线性相关的含义是什么,向量组线性相关的几何意义 30
1楼 暴血长空 向量组线性无关的取反，而向量组线性无关的定义是向量组中没有向量可以用其它有限个向量线性组合表示，则成为无关。因此在向量组中并不要求任何两个向量之间都线性相关。比如向量组 1，1，1 ， 1，0，1 ， 2，1，2 ，三个向量并不是线性两两线性相关，但是该组向量，线性相关。 向量组线性...