1楼：demon陌
把向量组的各列向量拼成一个矩阵，求出矩阵的秩。若秩小于向量个数，则向量组线性相关；若秩等于向量个数，则向量组线性无关。
例如在三维欧几里得空间r的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, 1, 1)，(1, 0, 1)和(3, 1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。
2楼：匿名用户
最直观的方法，就是把这些向量组成一个矩阵，然后用初等行变换将之变成只含1和0的矩阵；
然后观察每列的元素，如果某一列能够被其他列线性计算表示，则说明是线性相关，反之线性无关。
例如：a=[1 0 0]t 和b= [010]t 和c= [001]t， 他们之间是没办法 用 a = b*b+c*c 来表示的，或者找不到b和c，使得 a = b*b+c*c成立， 此时说明a和b c线性无关。 反之，如果能找到b和c，使得 a = b*b+c*c成立，那么a和b c线性无关
如何证明两个向量线性无关?
3楼：门下走狗金牛
方法一：基于定义法。
首先对b进行列分块得到向量组，这样就有了分析对象。
b=(β1,β2,...,βn)b=(β1,β2,...,βn),作βx→=0βx→=0,如果证得x只有零解则问题可解。
另外基于题干中条件，根据提示原则：ab=e。左乘a 。
abx→=a0→=0→→x=0→abx→=a0→=0→得x=0→（注：箭头符号代表代表的是向量）
即向量x只有零解，那么就证明了列向量线性无关。
方法二：基于秩的判定
r(b)≤n,又r(b)≥r(ab)=r(b)=n→r(b)=n,所以可以得到b的列向量组线性无关。
扩展资料：
线性相关注意事项：
1，对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。
2，向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说a线性相关; 若a≠0, 则说a线性无关。
3，包含零向量的任何向量组是线性相关的。
4，含有相同向量的向量组必线性相关。
5，增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)【局部相关，整体相关】
6，减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）【整体无关，局部无关】
7，一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。【无关组的加长组仍无关】
8，一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。【相关组的缩短组仍相关】
9，若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。
4楼：demon陌
两个向量构成的向量组线性无关的充分必要条件是：对应分量不成比例，即一个向量不是另一个向量的倍数。
如果把这两个变量分别作为点的横坐标与纵坐标，其图象是平面上的一条直线，则这两个变量之间的关系就是线性关系。
如果可以用一个二元一次方程来表达两个变量之间关系的话，这两个变量之间的关系称为线性关系，因而，二元一次方程也称为线性方程。
例如在三维欧几里得空间r的三个矢量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)线性无关；但(2, 1, 1)，(1, 0, 1)和(3, 1, 2)线性相关，因为第三个是前两个的和。
5楼：匿名用户
如果两个向量组可以互相线性表示，则这两个向量组等价。
其实本题根本不需要用向量组等价来证明，可以这样证明：
设有两个矢量，a，b如果找不到常数k1、k2，满足 k1*a+k2*b=0，则a、b线性无关。
6楼：sunny阿格布
例如：a2-a1, a3-a1 线性无关是因为a1,a2,a3无关 设有数k,l满足k(a2-a1)+l(a3-a1)=0 即-(l+k)a1+ka2+la3=0 由于a1,a2,a3无关所以k=l=0 所以a2-a1, a3-a1 线性无关
怎么证明两个向量线性无关?
7楼：晓龙修理
解题过程：
这个齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解。
性质：1、对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。
2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说a线性相关; 若a≠0, 则说a线性无关。
3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。
4、含有相同向量的向量组必线性相关。
5、增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)
6、一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。
7、一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。
8、若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。
8楼：匿名用户
线性问题，吧向量看作是一个一次函数，转化成两条直线之间的问题，就好办了，反正记住向量与直线的联系就行了
9楼：匿名用户
设有两个矢量，a，b如果找不到常数k1、k2，满足 k1*a+k2*b=0，则a、b线性无关。
10楼：匿名用户
线性代数书上有的啊，如果一个向量能用另一个向量线性表示，那么它们就是线性相关的。当然无法全部线性表示就是线性无关的
11楼：匿名用户
如果两个向量组可以互相线性表示，则这两个向量组等价。
其实本题根本不需要用向量组等价来证明，可以这样证明：
如何证明一个线性无关的向量组的任何一个部分组也线性无关
12楼：定尔芙赛纬
设a1,a2,...,as
是某向量组中的一个线性无关部分组
扩充步骤如下:
任取向量组中一个向量β
考虑向量β是否可由a1,a2,...,as线性表示(1)若β可由a1,a2,...,as线性表示则放弃此向量
(2)若β不能由a1,a2,...,as线性表示则添加此向量得线性无关的部分组a1,a2,...,as,a(s+1):=β
这个部分组为什么线性无关:
设k1a1k2a2+...+ksas+kβ=0由于β不能由a1,a2,...,as线性表示,所以有k
=0所以
k1a1k2a2+...+ksas=0.
再由a1,a2,...,as
线性无关,
k1=k2=...=ks=0
故a1,a2,...,as,β
线性无关.
如此进行下去,
遍历整个原向量组,
得一扩充的部分组:
a1,a2,...,ar
满足:1)
线性无关
2)原向量组中任一向量都可由此部分组线性表示故a1,a2,...,ar即为一个极大无关组.
证明：若一个向量组线性无关，则它的任何一个部分向量组也线性无关。
13楼：匿名用户
反证法：若某一个部分向量组线性相关，则原向量组线性相关设原向量组为x1,x2……xn,如果某个部分向量组线性相关比如x1,x2,x3,
就是说a1*x1+a2*x2+a3*x3=0 时，a1,a2,a3,不全为0，则对b1*x1+b2*x2+……bn*xn=0
令b1=a1,b2=a2,b3=a3,b4=b5=……=bn=0该式成立，就是b1到bn不全为0
所以原向量组线性相关
14楼：匿名用户
反证法向量组线性无关
假设部分向量组 , 是1,2,...,n的一个子集若线性相关
则存在不全为零的数列，
使得sigma kni ani =0
然后把向量组补全，令补上的向量的kn全是0 （kni依旧不变）我们就有
sigma kn an =0, 其中kn不全为零，这与原线性向量组线性无关矛盾
所以矛盾
原结论成立
设向量组a1a2a3a4线性相关，但其中任意三个向量线性无关，证明：存在一
15楼：匿名用户
因为a1,a2,...,as线性相关.所以存在一组不全为零的数k1,k2,...
,ks使得k1a1+k2a2+...ksas=0成立.假设k1,k2,...
,ks有至少一个数是0,设为ki=0.从k1a1+k2a2+...ksas=0k1a1+k2a2+...
ksas（不含kiai项）+0ai=0k1a1+k2a2+...ksas（不含kiai项）=0a1、a2……as（不含ai项）线性相关.这与其中任意s-1个向量都线性无关矛盾.
所以k1,k2,...,ks没有为0的数.即必存在一组全都不为零的数k1,k2,...
,ks,使k1a1+k2a2+...ksas=0
设向量组a1,a2,a3线性相关,而向量组a2,a3,a4线性无关.证明(2)a4不能由a1,a2,a3线性表示.
16楼：
假设，a4能用a2,a3表示，说明a4和a2,a3线性相关，但是上面说a4和a2,a3线性无关，这两者矛盾了，所以假设不成立。
要理解画红线的地方，第一个问题解决了对第二个问题有用。
共线定理
若b≠0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，使。若设a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则有，与平行概念相同。
平行于任何向量。
垂直定理
a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0 。
分解定理
平面向量分解定理：如果
、是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
，使，我们把不平行向量
、叫做这一平面内所有向量的基底。
17楼：匿名用户
a4能由a2，a3线性表示，那么a2，a3，a4就线性相关了，按定义来，就存在一组数，使得
k1*a1+k2*a2+k3*a3=0
结果与题设矛盾。
18楼：薰衣草
（1）向量组a2,a3,a4线性无关,说明a2,a3,也线性无关；
又因为向量组a1,a2,a3线性相关，所以a1能由
a2,a3线性表示
（2）假如a4能由a1,a2,a3线性表示，则由于a1能由a2,a3线性表示
得到a4能由a2,a3线性表示，从而a2,a3,a4线性相关，与已知矛盾，
所以a4不能由a1,a2,a3线性表示
如果基础不太好，可以看看下面的答案，关于第一个问的，我引用的
由已知说明向量组a1,a2,a3,a4线性相关；
即存在不全为0的4个数k1,k2,k3,k4使得k1*a1+k2*a2+k3*a3+k4*a4=0(k1,k2,k3,k4为系数)
又因为a4不能由a1,a2,a3线性表示，所以不存在如下的等式关系：
a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3(c1,c2,c3为系数)
由上面第一个等式知：k1*a1+k2*a2+k3*a3+k4*a4=0
由上面第二条件知：a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3（不成立）
从第一个等式中知要使第二个条件成立，只有k4=0;如果k4≠0的话，那么经 过移项，可变成a4=c1*a1+c2*a2+c3*a3,这就产生了矛盾。
故在第1式中只有k4=0;
这样就有k1*a1+k2*a2+k3*a3＝0；(k1,k2,k3不全为0),故向量组a1a2a3线性相关
线性代数中线性相关，线性无关简单来说是什么意思
1楼 线性代数中的线性相关是指 如果对于向量 1 2 n， 存在一组不全为0的实数k1 k2 kn，使得 k1 1 k2 2 kn n 0成立，那么就说 1 2 n线性相关 线性代数中的线性无关是指 如果对于向量 1 2 n， 只有当k1 k2 kn 0时， 才能使k1 1 k2 2 kn n 0成...
什么是线性无关解,微分方程，什么叫线性无关解，什么是线性相关解，随便说我能听懂
1楼 匿名用户 问题补充 有3个线性无关的解x1 x2 x3，那么这三个解满足什么条件？ a应该是个不等式组，或者说矩阵，线性无关 不存在不为零的a，b，c是a 2楼 匿名用户 首先得是方程或方程组的解，接下来它们还得要求是线性无关的，也就是说不是线性相关的， 线性相关是指 存在不全为零的系数，使得...