1楼:肖斌绵阳
导数的定义与“连续”相关,与函数在该点的取值有关,而且还有个“左接近”和“右接近”的概念在其中;
而直线的斜率是指:直线上任取两点p1(x1 ,y1)、p2(x2,y2),斜率k=(y1-y2)/(x1-x2),即纵坐标之差除以横坐标之差的商即为直线的斜率。据此可以看出,k值可正可负。
可以无穷大,也可以无穷小。
当直线平行于纵轴时,x1-x2=0,很显然,任何非零数除以0,都得无穷大(正或者负)。所以数学领域的专家们根据科学规律一致规定:斜率为无穷大的直线平行于纵轴。
并非是说不存在斜率,而是斜率无穷大。其导数可以依据导数的定义进行计算。
如果该点连续,其导数是存在的
如果该点不连续,其可能存在“左导数”和“右导数”,如果左导数=右导数,其导数也是存在的;如果该点左导数不等于右导数,则该点不存在导数。
请详细复习一下导数的定义和连续的定义
祝你进步!
2楼:匿名用户
比如:y(x) = 1/x (1) 0导数y'在x=0处的导数不存在或说|y'(0)|=∞。
由于x=0的点不在y(x)的定义域内,因此也不必去研究非定义域点处的导数。
“假如说一个直线的切线他平行于y轴,理论上来说不存在斜率,那么他的导数表现是什么?”
一条直线的切线就是该直线本身,该直线的导数即直线的导数或斜率或该直线与x轴夹角a的正切值tan a,当a=90度时,其导数值不存在或说为无穷大:其物理意义是当自变量x有极其微小的变化时,函数y的值有极其巨大的变化。这样的情况很多很多如:
y=ln x y=lg x y=1/x2 (3) 等等,
y'=1/x y'=x ln10 y'=-2/x3, 在x=0处, y'(0) -> ∞
还有:y=tan x (4)
y'=1/cos2 x, y'(π/2) -> ∞。
因此上述所列函数(3)、(4),可以求导,但在某些点上导函数值不存在。
3楼:匿名用户
数学中规定:这种情况是无穷导数
数学中导数的实质是什么?有什么实际意义和作用?
4楼:暴走少女
1、导数的实质:
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
2、几何意义:
函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:表示函数曲线在点p0(x0,f(x0))处的切线的斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
3、作用:
导数与物理,几何,代数关系密切:在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
导数亦名纪数、微商(微分中的概念),是由速度变化问题和曲线的切线问题(矢量速度的方向)而抽象出来的数学概念,又称变化率。
扩展资料:
一、导数的计算
计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中,大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数,那么根据导数的求导法则,就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
二、导数与函数的性质
1、单调性
(1)若导数大于零,则单调递增;若导数小于零,则单调递减;导数等于零为函数驻点,不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
(2)若已知函数为递增函数,则导数大于等于零;若已知函数为递减函数,则导数小于等于零。
2、凹凸性
可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增,那么这个区间上函数是向下凹的,反之则是向上凸的。
如果二阶导函数存在,也可以用它的正负性判断,如果在某个区间上恒大于零,则这个区间上函数是向下凹的,反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。
5楼:匿名用户
数学中导数的实质是瞬间变化率,在函数曲线中表示在某点切线的斜率,在物理位移时间关系中表示瞬时速度,在速度时间关系中表示瞬时加速度,在经济中可以表示边际成本。
导数(derivative)是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量δx时,函数输出值的增量δy与自变量增量δx的比值在δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df/dx(x0)。
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
6楼:濂溪之子
导数(derivative)是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则**于极限的四则运算法则。
亦名纪数、微商,由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念。又称变化率。
如一辆汽车在10小时内走了 600千米,它的平均速度是60千米/小时,但在实际行驶过程中,是有快慢变化的,不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况,可以缩短时间间隔,设汽车所在位置s与时间t的关系为s=f(t),那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0],当 t1与t0很接近时,汽车行驶的快慢变化就不会很大,平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ,自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度,这就是通常所说的速度。一般地,假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0-a ,x0 +a)内有定义,当自变量的增量δx= x-x0→0时函数增量 δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的导数(或变化率)。
若函数f在区间i 的每一点都可导,便得到一个以i为定义域的新函数,记作 f',称之为f的导函数,简称为导数。函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:表示曲线l 在p0〔x0,f(x0)〕 点的切线斜率。
一般地,我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则:设y=f(x )在(a,b)内可导。如果在(a,b)内,f'(x)>0,则f(x)在这个区间是单调增加的。。
如果在(a,b)内,f'(x)<0,则f(x)在这个区间是单调减小的。所以,当f'(x)=0时,y=f(x )有极大值或极小值,极大值中最大者是最大值,极小值中最小者是最小值。
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
(1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:
1 求函数的增量δy=f(x0+δx)-f(x0)
2 求平均变化率
3 取极限,得导数。
(2)几种常见函数的导数公式:
1 c'=0(c为常数函数);
2 (x^n)'= nx^(n-1) (n∈q);
3 (sinx)' = cosx;
4 (cosx)' = - sinx;
5 (e^x)' = e^x;
6 (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数)
7 (inx)' = 1/x(ln为自然对数)
8 (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1)
补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的,只能代函数,新学导数的人往往忽略这一点,造成歧义,要多加注意。
(3)导数的四则运算法则:
1(u±v)'=u'±v'
2(uv)'=u'v+uv'
3(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2
(4)复合函数的导数
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献!
导数的应用
1.函数的单调性
(1)利用导数的符号判断函数的增减性
利用导数的符号判断函数的增减性,这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用,它充分体现了数形结合的思想.
一般地,在某个区间(a,b)内,如果>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
如果在某个区间内恒有=0,则f(x)是常函数.
注意:在某个区间内,>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件,如f(x)=x3在内是增函数,但.
(2)求函数单调区间的步骤
1确定f(x)的定义域;
2求导数;
3由(或)解出相应的x的范围.当f'(x)>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f'(x)<0时,f(x)在相应区间上是减函数.
2.函数的极值
(1)函数的极值的判定
1如果在两侧符号相同,则不是f(x)的极值点;
2如果在附近的左侧,右侧,那么,是极大值或极小值.
3.求函数极值的步骤
1确定函数的定义域;
2求导数;
3在定义域内求出所有的驻点,即求方程及的所有实根;
4检查在驻点左右的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
4.函数的最值
(1)如果f(x)在〔a,b〕上的最大值(或最小值)是在(a,b)内一点处取得的,显然这个最大值(或最小值)同时是个极大值(或极小值),它是f(x)在(a,b)内所有的极大值(或极小值)中最大的(或最小的),但是最值也可能在〔a,b〕的端点a或b处取得,极值与最值是两个不同的概念.
(2)求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
1求f(x)在(a,b)内的极值;
2将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
5.生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题称为优化问题,优化问题也称为最值问题.解决这些问题具有非常现实的意义.这些问题通常可以转化为数学中的函数问题,进而转化为求函数的最大(小)值问题.
高中数学的导数有什么作用,高中数学中，导数主要有什么概念和意义？
1楼 匿名用户 导数 derivative 是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。 可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则 于极限的四则运算法则。...
高中导数的导是什么概念,高中数学中，导数主要有什么概念和意义？
1楼 冷眸 我以过来的身份告诉你这个后来者，高考导数很重要，数学基以导数贯穿，你们还是初学，以后就会驾轻就熟的，而且导数题型固定，要求机变。 补充 至于大学的微积分，作为万千受害者的代表，我可以给一个明确形容的答案，那就是天书！ 追问 某数在某范围内可导，又是什么意思？求团长厢解 回答 好吧，我再来...
数学函数求导等于0有什么含义,函数f(x)的导数等于0的意义是什么？
1楼 蓓儿悦月子中心 一阶导数等于零表示函数斜率固定。 二阶导数没有特别的几何意义，通常可以根据二阶导数的符号变化，判断函数曲线的凹凸性及拐点，或用来判断所求驻点是否是极值点并且取得极大还是极小。二阶导数等于零说明此为函数的极点。 数学函数求导等于0有什么含义 2楼 匿名用户 如果函数y f x 在...