1楼:
利用球面坐标代换被积函数,然后利用三角函数的辅角得到被积函数的最大值和最小值,最后利用球的体积公式可得。
计算三重积分xyzdxdydz,其中积分为球面x^2+y^2+z^2=1及三个坐标所围成的在第一卦
2楼:等待枫叶
三重积分xyzdxdydz的结果等于1/48。
解:因为积分为球面x^2+y^2+z^2=1及三个坐标所围成的在第一卦,
那么积分域ω是一个球心在原点,半径为1的球在第一挂限内的部分。
则可用球坐标计算。其中(0≦θ≦π/2,0≦φ≦π/2,0≦r≦1)。
ω∫∫∫xyzdxdydz=ω∫∫∫[(rsinφcosθ)(rsinφsinθ)(rcosφ)r2sinφdrdθdφ
=ω∫∫∫[(r^5)sin3φcosφsinθcosθdrdθdφ
=[0,1]∫(r^5)dr[0,π/2]∫sin3φd(sinφ)[0,π/2]∫sinθd(sinθ)
=(((r^6)/6)—[0,1])*(((1/4)sin4φ)—[0,π/2])*(((1/2)sin2θ)—[0,π/2])
=(1/6)*(1/4)*(1/2)
=1/48
即ω∫∫∫xyzdxdydz等于1/48。
扩展资料:
三重积分的计算方法
1、直角坐标系法
适用于被积区域ω不含圆形的区域,且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法。
(1)先一后二法投影法,先计算竖直方向上的一竖条积分,再计算底面的积分。
(2)先二后一法(截面法),先计算底面积分,再计算竖直方向上的积分。
2、柱面坐标法
适用被积区域ω的投影为圆时,依具体函数设定,如设
x^2+y^2=a^2,x=asinθ,y=bsinθ。
区域条件:积分区域ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合。
函数条件:f(x,y,z)为含有与x^2+y^2相关的项。
3、球面坐标系法
适用于被积区域ω包含球的一部分。
区域条件:积分区域为球形或球形的一部分,锥 面也可以;
函数条件:f(x,y,z)含有与x^2+y^2+z^2相关的项。
3楼:杨必宇
用球面坐标:
f=x^2+y^2=(rsinφcosθ)^2+(rsinφsinθ)^2=r^2*sin^2(φ)。
|j|=r^2*sinφ,r∈[1,2],φ∈[0,π/2],θ∈[0,2π]。
原积分=∫[0,2π]dθ∫[0,π/2]dφ∫[1,2]f|j|dr。
=∫[0,2π]dθ∫[0,π/2]dφ∫[1,2]r^4*sin^3(φ)dr。
=2π*[(2^5-1)/2}*2/3=124π/3。
3、积分区域关于平面x=0对称故元积分化为∫∫∫[ω]zdv。
这道题很复杂,要以z=1为界讨论z的情况,如下图:
t<1时,用平面z=t截ω得如下图形:
不难求出图形面积s(t),f(t)=ts(t)。
同样有f=ts(t)。
对t从0到1和从1到[3sqrt(17)-1]/4分别积分而后加和得到所要的答案。
证明：方程X 2 Y 2 8Z
1楼 匿名用户 8z 7 肯定是奇 数 要使等式成立 x与y必须一个是奇数 一个是偶数 可以设 x 2m y 2n 1 m n为整数 代入得 2m 2 2n 1 2 8z 74m 2 4n 2 4n 1 8z 72m 2 2n 2 2n 4z 3左边肯定是偶数 右边肯定是奇数 不可能成立 所以没有整...
计算二重积分xydxdy,其中D是y x 2 y 2 x
1楼 西域牛仔王 容易求得两曲线交点为 0，0 1，1 ，所以原式 0 1 x dx x 2， x ydy 0 1 xdx 1 2 y 2 x 2 x 0 1 x 1 2 x 1 2 x 4 dx 1 6 x 3 1 12 x 6 0 1 1 6 1 12 0 1 12 。 2楼 匿名用户 y x ...
二重积分R 2-X 2-Y 2)dxdy,其中D
1楼 匿名用户 x y rx x r 2 y r 2 r rcos 这是在y轴右边，与y轴相切的圆形 所以角度范围是有 2到 2 又由于被积函数关于x轴对称 由对称性，所以 d 2 d 上半部分 ，即角度范围由0到 2 r x y dxdy r r r drd 2 0， 2 d 0，rcos r r...