1楼：午后蓝山
用反证法。假设矩阵a的秩r(a)=m,其r(at)=m+1
那么r[(at)t]=m+2=r(a)
与题设相矛盾，因此，矩阵a的共轭转置矩阵与a的秩相同
2楼：电灯剑客
这个可以直接用定义来证明，a^h的行秩和a的列秩相同
也可以用极大非零子式来证明
但是1楼的证明完全错误，从存在一个a满足r(a)=m, r(a^t)=m+1无法推出r((a^t)^t)也有同样性质。
证明：矩阵a与a的转置a'的乘积的秩等于a的秩，即r(aa')=r(a).
3楼：
设 a是 m×n 的矩阵。
可以通过证明 ax=0 和a'ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 肯定是 a'ax=0 的解，好理解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0
故两个方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以综上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
4楼：匿名用户
这个样子可能可以：
a=peq 其中e是a的标准型,p,q为可逆矩阵那么a'=q'e'p';
所以aa'=pe**'e'p';
设**'=(x y)
(z w)
其中x为r*r的矩阵且其轶也为r，因为它是可逆矩阵的一个分块。
所以上式可以化简为：
aa'=p(x o)q
(0 0)
而pq都是可逆的，所以
r(aa')=r(x o)
(0 0)
所以它就等于r。
可能看起来比较不爽，可是我也打不出来比较好的效果，凑和看吧。
也可能有比较简单的方法。就这样吧。
5楼：匿名用户
king__dom的做法很棒
证明转置矩阵的秩与原矩阵的相同
6楼：匿名用户
可以用 ε(ijk) 来证明。就是det(a)=1/6 ε(ijk) ε(pqr )a (ip)a (jq)a (kr).
关于矩阵乘以它的共轭转置矩阵的秩
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