1楼：林若宇小木
设 a是 m×n 的矩阵。
可以通过
证明 ax=0 和a'ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 肯定是 a'ax=0 的解，好理解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0
故两个方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以综上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
矩阵与其转置矩阵乘积的秩与本身的秩
2楼：相乐心宦业
如果a是mxn的实矩阵，那么rank(aa^t)=rank(a^ta)=rank(a)
如果进一步有rank(a)=n（此时显然一定要有m>=n），那么rank(a^ta)是n阶可逆阵
3楼：类秀越哀辰
设a是m×n的矩阵。
可以通过证明
ax=0
和a'ax=0
两个n元齐次方程同解证得
r(a'a)=r(a)
1、ax=0
肯定是a'ax=0
的解，好理解。
2、a'ax=0
→x'a'ax=0
→(ax)'
ax=0
→ax=0
故两个方程是同解的。
同理可得
r(aa')=r(a')另外有
r(a)=r(a')
所以综上
r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
矩阵与其转置矩阵乘积所得到的矩阵的秩与该矩阵的秩有何关系
4楼：电灯剑客
如果a是mxn的实矩阵，那么rank(aa^t)=rank(a^ta)=rank(a)
如果进一步有rank(a)=n（此时显然一定要有m>=n），那么rank(a^ta)是n阶可逆阵
为什么矩阵的转置和矩阵本身相乘后得到的矩阵的秩是1？
5楼：匿名用户
楼主，你的题目有点问题，估计是忘记交代此矩阵为n*1的矩阵了，因为对于任意n*m矩阵a，rank(a*a')并不一定是1.例如，若a为n阶单位矩阵e，则a*a'=e*e=e，rank(a*a')=n. 另一方面，若a为n*1矩阵，则a*a'为n阶方阵，由于rank(a*a')<=min=rank(a)<=1(因为a为n*1矩阵，从而其秩最多取到1)；若a为非零矩阵，则rank(a)=1,并且a*a'不可能为零矩阵，因此rank(a*a')=1；若a为零矩阵，则rank(a)=0，从而rank(a*a')=0.
6楼：匿名用户
利用矩阵的运算法则证明一下就ok了
(矩阵的转置乘矩阵)的秩=矩阵的秩。那么矩阵乘(矩阵的转置)的秩是什么？求证明
7楼：关键他是我孙子
矩阵乘矩阵的转置的秩=矩阵的秩。证明如下：
设 a是 m×n 的矩阵
可以通过证明 ax=0 和a'ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 是 a'ax=0 的解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0，故两个方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以综上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
8楼：匿名用户
这两个矩阵的秩都等于原矩阵的秩，证明见下图，要用到齐次线性方程组解的知识。
证明：矩阵a与a的转置a'的乘积的秩等于a的秩，即r(aa')=r(a).
9楼：
设 a是 m×n 的矩阵。
可以通过证明 ax=0 和a'ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 肯定是 a'ax=0 的解，好理解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0
故两个方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以综上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
10楼：匿名用户
这个样子可能可以：
a=peq 其中e是a的标准型,p,q为可逆矩阵那么a'=q'e'p';
所以aa'=pe**'e'p';
设**'=(x y)
(z w)
其中x为r*r的矩阵且其轶也为r，因为它是可逆矩阵的一个分块。
所以上式可以化简为：
aa'=p(x o)q
(0 0)
而pq都是可逆的，所以
r(aa')=r(x o)
(0 0)
所以它就等于r。
可能看起来比较不爽，可是我也打不出来比较好的效果，凑和看吧。
也可能有比较简单的方法。就这样吧。
11楼：匿名用户
king__dom的做法很棒
证明：矩阵a与a的转置a'的乘积的秩等于a的秩，即r(aa')=r(a).详细解答
12楼：匿名用户
证明:(1)设x1是ax=0的解, 则ax1=0所以a'ax1=a'(ax1)=a'0=0所以x1是a'ax=0的解.
故 ax=0 的解是 a'ax=0 的解.
(2)设x2是a'ax=0的解, 则a'ax2=0等式两边左乘 x2'得 x2'a'ax2=0所以有 (ax2)'(ax2)=0
所以 ax2=0. [长度为0的实向量必为0向量, 此时用到a是实矩阵]
所以x2是ax=0的解.
故a'ax=0的解是ax=0的解.
综上知齐次线性方程组ax=0与a'ax=o是同解方程组.
所以 n-r(a) = n-r(a'a)
所以 r(a) = r(a'a).
所以 r(a) = r(a') = r((a')'a') = r(aa').
13楼：胡图小生
构造方程 1 ax=0
2 aa'x=0
证明1，2同解
一个矩阵的转置矩阵与它自身具有相同的秩
14楼：匿名用户
矩阵的秩定义为它的非零子式的最大阶。注意行列式转置值不变。矩阵的子式在
转置之后成为转置矩阵的子式(原子式的转置。）。它的值不变。所以非零子式
的最大阶也不会变。即矩阵的转置矩阵与它自身具有相同的秩。
15楼：封恺乐合涉
^矩阵a的任一个k阶子式m
a转置后在a^t的位置是行列互换
所以恰对应
故r(a)
=r(a^t).
证明转置矩阵的秩与原矩阵的相同
16楼：止其英农己
用反证法。假设矩阵a的秩r(a)=m,其r(at)=m+1
那么r[(at)t]=m+2=r(a)
与题设相矛盾，因此，矩阵a的共轭转置矩阵与a的秩相同
关于矩阵的秩的定义的问题,关于矩阵的秩的性质。
1楼 中兴大臣 最初开始学的时候，定义是最开始的那一种，然后随着对矩阵学习的深入，可以逐渐证明第一种定义算出来的秩与行秩，列秩是相等的，而且第一种不常用，到后面一般都是用行秩，列秩来求矩阵的秩 关于矩阵的秩的性质。 2楼 匿名用户 最后要证明的是秩相等，也就是等号成立，但到目前 也就是你问的地方 为...
矩阵转置后求导的问题,矩阵求导后转置与转置后求导结果一样吗
1楼 电灯剑客 这里e应该是一个列向量 至于求导 就是一般的二次函数求 偏 导 d e t j e de j j t e 2je至于导数写成行向量还是列向量很多情况下是无关紧要的 关键看怎么用 矩阵求导后转置与转置后求导结果一样吗 2楼 匿名用户 当然是一样的 因为转置并不改变值的大小 从而先后顺序...
矩阵（多项式矩阵）的秩到底是怎么定义的
1楼 电灯剑客 矩阵的秩就是 ith标准型中非零对角元的个数，这和普通数量矩阵的秩的定义是一致的 2楼 玲玲的湖 矩阵的特征多项式f e a 3楼 归来的n维 k是 矩阵a的秩如果a的k级主子式存在不为0的，而所有的k 1级主子式均为0。 i a的秩为n 4楼 匿名用户 恩，我稍微看懂一点了，这个是...