1楼：小罗
|；||范数应满足三个要求：
(1). 正定性：a ≠ 0，则 || a || > 0；
(2). 线性性：t ∈ r，则 || t a || = |t| || a ||；
(3). 三角不等式：|| a + b || <= || a || + || b ||.
一般指定一个具体的向量范数|| ||，例如：|| x || = √(x1^2 + ... + xn^2)，x = (x1, x2, ..., xn).
定义从属于它的矩阵范数为：|| a || = sup. 可以验证，这样利用向量的范数来定义矩阵范数，是满足范数三个要求的.
什么是矩阵的范数
2楼：小慎
在介绍主题之前，先来谈一个非常重要的数学思维方法：几何方法
。在大学之前，我们学习过一次函数、二次函数、三角函数、指数函数、对数函数等，方程则是求函数的零点；到了大学，我们学微积分、复变函数、实变函数、泛函等。我们一直都在学习和研究各种函数及其性质，
函数是数学一条重要线索，另一条重要线索——几何
，在函数的研究中发挥着不可替代的作用，几何是函数形象表达，函数是几何抽象描述，几何研究“形”，函数研究“数”，它们交织在一起推动数学向更深更抽象的方向发展。
函数图象联系了函数和几何，表达两个数之间的变化关系，
映射推广了函数的概念，使得自变量不再仅仅局限于一个数，也不再局限于一维，任何事物都可以拿来作映射，维数可以是任意维，传统的函数图象已无法直观地表达高维对象之间的映射关系，这就要求我们在观念中，把三维的几何空间推广到抽象的n维空间。
由于映射的对象可以是任何事物
，为了便于研究映射的性质以及数学表达，我们首先需要对映射的对象进行“量化”，取定一组“基”，确定事物在这组基下的坐标，事物同构于我们所熟悉的抽象几何空间中的点，事物的映射可以理解为从一个空间中的点到另一个空间的点的映射，而映射本身也是事物，自然也可以抽象为映射空间中的一个点，这就是泛函中需要研究的对象——函数。
从一个线性空间到另一个线性空间的线性映射，可以用一个矩阵来表达，矩阵被看线性作映射，线性映射的性质可以通过研究矩阵的性质来获得，比如矩阵的秩反映了线性映射值域空间的维数，
矩阵范数反映了线性映射把一个向量映射为另一个向量，向量的“长度”缩放的比例。
范数是把一个事物映射到非负实数，且满足非负性、齐次性、三角不等式，符合以上定义的都可以称之为范数，所以，范数的具体形式有很多种（由内积定义可以导出范数，范数还也可以有其他定义，或其他方式导出），要理解矩阵的算子范数，首先要理解向量范数的内涵。矩阵的算子范数，是由向量范数导出的，由形式可以知：
由矩阵算子范数的定义形式可知，矩阵a把向量x映射成向量ax
，取其在向量x范数为1所构成的闭集下的向量ax范数最大值作为矩阵a的范数，即矩阵对向量缩放的比例的上界，矩阵的算子范数是相容的。由几何意义可知，矩阵的算子范数必然大于等于矩阵谱半径（最大特征值的绝对值），矩阵算子范数对应一个取到向量ax范数最大时的向量x方向，谱半径对应最大特征值下的特征向量的方向。而矩阵的奇异值分解svd
，分解成左右各一个酉阵，和拟对角矩阵，可以理解为对向量先作旋转、再缩放、最后再旋转，奇异值，就是缩放的比例，最大奇异值就是谱半径的推广，所以，矩阵算子范数大于等于矩阵的最大奇异值，酉阵在此算子范数的意义下，范数大于等于1
。此外，不同的矩阵范数是等价的。
范数理论是矩阵分析的基础，度量向量之间的距离、求极限等都会用到范数，范数还在机器学习、模式识别领域有着广泛的应用。
3楼：匿名用户
最通俗易懂的解释是 矩阵的模 （就是所谓的绝对值）
矩阵里面的范数有什么意义？
4楼：残帆影
举个例子 在数值计算中计算矩阵的算法中常常要判断算法的解是否收敛 这时最准确的方法是判断矩阵的最大特征值 但是矩阵的特征值得计算相对麻烦 所以可以近似的用范数代替 但是不够准确 但是很高效
理论上讲范数的概念属于赋范线性空间，最重要的作用是诱导出距离，进而还可以研究收敛性。 对于矩阵而言没必要考虑范数的区别，因为有限维空间的范数都等价(minkowski定理)，实际应用当中根据使用的难易程度来选取范数。其中理论性质最好的是2-范数，因为它可以由内积来诱导，同时和谱有着密切关联，所以常用来进行理论分析。
矩阵范数与算子范数有什么区别？
5楼：匿名用户
一、囊括范围不同
1、矩阵范数：将一定的矩阵空间建立为赋范向量空间时为矩阵装备的范数。
2、算子范数：算子范数(operate norm)是矩阵范数的一种。
二、应用形式表达不同
1、矩阵范数：应用中常将有限维赋范向量空间之间的映射以矩阵的形式表现，这时映射空间上装备的范数也可以通过矩阵范数的形式表达。
2、算子范数：算子范数是矩阵范数的一种，设向量x是一个n维向量，a是一个n*n的矩阵，则a的算子范数为max(ax/x)，算子范数也称从属范数，其中x≠0。
6楼：电灯剑客
对于矩阵而言，矩阵范数真包含算子范数，也就是说任何一种算子范数一定是矩阵范数，但是某些矩阵范数不能作为算子范数（比如frobenius范数）。
矩阵计算范数
7楼：fly玛尼玛尼
根据矩阵f（简称）范数的定义：
以及矩阵的迹与f范数的关系（方框中的内容）：
得到（因为都是实矩阵、实向量，所以共轭转置就等同于转置了）因此只要证明：
在这里依然没有看到可以简化的迹象，所以就不打算写成迹的形式来证明了。下面直接利用f范数的定义来证明。
设e的第i行、第j列元素为eij，s的第i个元素为si，数值(s^t)*s=c，那么
并且有因此只要证明
从而只要证明
即要证明
即要证明
即证即证
即证即证
即证即证
即证实际上，根据前面的规定，有
因此上式成立，待证命题也就成立。
【注意过程中括号的添加以及求和指标的变化】
范数的矩阵范数
8楼：騷b雪的桃
一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║xy║≤║x║║y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。
如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵（或复方阵）全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的实数k>0，使得k║·║是极小范数。
注：如果不考虑相容性，那么矩阵范数和向量范数就没有区别，因为mxn矩阵全体和mn维向量空间同构。引入相容性主要是为了保持矩阵作为线性算子的特征，这一点和算子范数的相容性一致，并且可以得到mincowski定理以外的信息。
诱导的范数
把矩阵看作线性算子，那么可以由向量范数诱导出矩阵范数
║a║ = max= max ，
它自动满足对向量范数的相容性
║ax║ ≤ ║a║║x║，
并且可以由此证明：
║ab║ ≤ ║a║║b║。
注：⒈上述定义中可以用max代替sup是因为有限维空间的单位闭球是紧的（有限开覆盖定理），从而上面的连续函数可以取到最值。
⒉显然，单位矩阵的算子范数为1。
常用的三种p-范数诱导出的矩阵范数是
1-范数：║a║1 = max （列和范数，a每一列元素绝对值之和的最大值）
（其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|，其余类似）；
2-范数：║a║2 = a的最大奇异值 = (max) 1/2 （谱范数，即a^h*a特征值λi中最大者λ1的平方根，其中ah为a的转置共轭矩阵）；
∞-范数：║a║∞ = max （行和范数，a每一行元素绝对值之和的最大值）
（其中∑|a1j| 为第一行元素绝对值的和，其余类似）；
其它的p-范数则没有很简单的表达式。
对于p-范数而言，可以证明║a║p=║ah║q，其中p和q是共轭指标。
简单的情形可以直接验证：║a║1=║ah║∞，║a║2=║ah║2，一般情形则需要利用║a║p=max。
非诱导范数
有些矩阵范数不可以由向量范数来诱导，比如常用的frobenius范数（也叫euclid范数，简称f-范数或者e-范数）：
║a║f= （∑∑ aij2）1/2 (a全部元素平方和的平方根）。
容易验证f-范数是相容的，但当min>1时f-范数不能由向量范数诱导（||e11+e22||f=2>1）。
可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。例如定义
║x║=║x║，其中x=[x,x，…，x]是由x作为列的矩阵。
由于向量的f-范数就是2-范数，所以f-范数和向量的2-范数相容。另外还有以下结论：
║ab║f <= ║a║f ║b║2 以及 ║ab║f ≤ ║a║2 ║b║f
矩阵谱半径
定义：a是n阶方阵，λi是其特征值，i=1,2，…，n。则称特征值的绝对值的最大值为a的谱半径，记为ρ（a）。
注意要将谱半径与谱范数（2-范数）区别开来，谱范数是指a的最大奇异值，即ah*a最大特征值的算术平方根。
谱半径是矩阵的函数，但不是矩阵范数。谱半径和范数的关系是以下几个结论：
定理1：谱半径不大于矩阵范数，即ρ（a）≤║a║。
因为任一特征对λ，x,ax=λx，可得ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。
定理2：对于任何方阵a以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得║a║<ρ（a)+e。
定理3(gelfand定理）：ρ（a)=lim_ ║ak║1/k。
利用上述性质可以推出以下两个常用的推论：
推论1：矩阵序列 i,a,a2，…ak，… 收敛于零的充要条件是ρ（a)<1。
推论2：级数 i+a+a2+... 收敛到（i-a)-1的充要条件是ρ（a)<1。
酉不变范数
定义：如果范数║·║满足║a║=║uav║对任何矩阵a以及酉矩阵u,v成立，那么这个范数称为酉不变范数。
容易验证，2-范数和f-范数是酉不变范数。因为酉变换不改变矩阵的奇异值，所以由奇异值得到的范数是酉不变的，比如2-范数是最大奇异值，f-范数是所有奇异值组成的向量的2-范数。
反过来可以证明，所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系：
定理（von neumann定理）：在酉不变范数和对称度规函数（symmetric gauge function）之间存在一一对应关系。
也就是说任何酉不变范数事实上就是所有奇异值的一个对称度规函数。
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