1楼：匿名用户
你好！是的，合同关系保持矩阵的定号性质，所以与正定矩阵合同的也一定是正定矩阵。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
合同矩阵为什么有相同的正定性
2楼：111尚属首次
正定矩阵a的特征值都是正的,可相似对角化成 diag(a1,a2,...,an),ai>0.
即存在正交矩阵p,使 p'ap = diag(a1,a2,...,an)
取 c = diag( √a1,√a2,...,√an)则有 c'p'apc = c'diag(a1,a2,...,an)c = e
即 (pc)'a(pc) = e
所以a与单位矩阵合同.
两矩阵均正定,那么这两个矩阵合同
3楼：匿名用户
两个同阶的正定矩阵一定是合同的。这是因为矩阵正定的充分必要条件是它合同于单位阵，而且合同关系具有传递性。
为什么正定矩阵与单位矩阵合同？
4楼：匿名用户
正定二次型x^t·
a·x的标准型就是y^t·diag(1,1,....,1,1)·y矩阵a经过某合同变换后可以变为diag(1,1,....,1,1)同理可以得到非负定矩阵和diag(1,1,...
,1,1,0,...,0)合同
矩阵a与b合同，b为正定矩阵，那么a是正定矩阵吗
5楼：匿名用户
你好！a是正定矩阵，两个合同的矩阵具有相同的定号。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！
设a为n阶正定矩阵，b是与a合同的n阶矩阵，证明b也是正定矩阵.
6楼：匿名用户
这是基本结论，可由定义证明。经济数学团队帮你解答。请及**价。谢谢！
二次型、正定矩阵、矩阵合同的几何意义或实际意义是什么？？
7楼：匿名用户
二次型英文名：quadratic form
设f(x_1,x_2,...x_n)=∑a_ij * x_i*x_j 这里a_ij是系数， 满足a_ij=a_ji
则称f为n元二次型。
将系数a_ij 按照下表ij排成矩阵， 亦即 a_ij 放在 第i行第j列的位置上。 这样我们
得到一个对称矩阵， 记为m。
如果m是正定的 （即只要x_1,...x_n 不全为零， 则 f 始终是正数）
就称f是正定的。
正定矩阵
设m是n阶实系数对称矩阵， 如果对任何非零向量
x=(x_1,...x_n) 都有 xmx^t>0，就称m正定。
正定矩阵在相似变换下可化为标准型， 即单位矩阵。
合同矩阵
给定两个n×n矩阵a和b，如果存在可逆矩阵c，使得b＝c^t×a×c，c^t是矩阵c的转置。称矩阵a和b合同。
什么是矩阵的正定和负定？
8楼：匿名用户
一． 定义
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:
设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。
相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：
令a为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称a正定（半正定）矩阵；反之，令a为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称a负定（半负定）矩阵。
例如，单位矩阵e 就是正定矩阵。
二． 正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：
1.n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a的 n 个特征值全是正数。
证明：若 ， 则有
∴λ＞0
反之，必存在u使
即 有这就证明了a正定。
由上面的判别正定性的方法，不难得到a为半正定矩阵的充要条件是：a的特征值全部非负。
2．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是a合同于单位矩阵e。
证明：a正定
二次型 正定
a的正惯性指数为n
3．n阶对称矩阵a正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵u使 ；进一步有 （b为正定（半正定）矩阵）。
证明：n阶对称矩阵a正定，则存在可逆矩阵u使
令 则令 则反之，∴a正定。
同理可证a为半正定时的情况。
4．n阶对称矩阵a正定，则a的主对角线元素 ，且 。
证明：（1）∵n阶对称矩阵a正定
∴ 是正定二次型
现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第i个数为1)代入，有
∴ ∴a正定
∴存在可逆矩阵c ，使
5．n阶对称矩阵a正定的充分必要条件是：a的 n 个顺序主子式全大于零。
证明：必要性：
设二次型 是正定的
对每个k,k=1,2,…,n,令
， 现证 是一个k元二次型。
∵对任意k个不全为零的实数 ，有
∴ 是正定的
∴ 的矩阵
是正定矩阵
即 即a的顺序主子式全大于零。
充分性：
对n作数学归纳法
当n=1时，
∵ ， 显然 是正定的。
假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。
令 ， ，
∴a可分块写成
∵a的顺序主子式全大于零
∴ 的顺序主子式也全大于零
由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵q使
令 ∴再令 ，
有 令 ，
就有 两边取行列式，则
由条件 得a＞0
显然 即a合同于e ，
∴a是正定的。
三． 负定矩阵的一些判别方法
1．n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的负惯性指数为n。
2．n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的特征值全小于零。
3．n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的顺序主子式 满足
， 即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。
由于a是负定的当且仅当-a是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。
四．半正定矩阵的一些判别方法
1． n阶对称矩阵a是半正定矩阵的充分必要条件是a的正惯性指数等于它的秩。
2． n阶对称矩阵a是半正定矩阵的充分必要条件是a的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。
3． n阶对称矩阵a是负定矩阵的充分必要条件是a的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。
注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证a是半正定的，例如：
矩阵 的顺序主子式 ， ， ，
但a并不是半正定的。
关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。
9楼：逄俊贤闻凡
如果任一非零实向量x，都使二次型f（x）=x的转置*a*x>0，则我们说f（x）为正定二次型，f（x）的矩阵a称为正定矩阵。
请问合同矩阵为什么有相同的正定性？相似矩阵的正定性又有什么关系吗？？
10楼：光孤子
由合同矩阵的定义，合同矩阵实际是把一个二次型变成了另一个二次型，并且这个变换是可逆的，所以这两个二次型就可以说是一样的，所以两个矩阵合同那么他们的正定性一定相同。这只是直观的理解，具体证明如下：设a与b合同，并且a正定那么a一定和单位矩阵i合同，由于合同的反身性和传递性可得b也和i合同，所以b一正定;反之若a不正定，则b也是不正定的。
对于相似矩阵由于他们的特征值相同，所以他们的正定性肯定相同。具体的内容参照黄廷祝主编的《线性代数与空间解析几何》的第五章和第六章内容