1楼：天骄
rank(ab)<=min
直接验证可知矩阵ab的列向量组是a的列向量的线性组合，故rank(ab)<=rank(a)；同理，矩阵ab的行向量组是b的行向量的线性组合，故rank(ab)=ab的行秩<=b的行秩=rank(b).
由这一点可以得到左乘右乘都成立。
2楼：宁松兰么戊
此题不需要用那个结论也能证明出来啊，必须用吗？
证：由于k是满秩方阵，因此可逆，存在k逆，等式两边同时左乘k逆，得k逆()=(
)，第一个括号里是beta那个向量组，第二个括号里是alpha那个向量组
这样就说明alpha那个向量组可由beta那个向量组线性表示，因此两向量组可以互相线性表示，所以两向量组等价，由于等价向量组秩相同，因此beta那个向量组的秩也是s，因此beta向量组线性无关。
3楼：务玉花姬戌
考察i00
ab利用初等变换i0
0ab<->i-b
0ab<->i-b
a0再由秩的定义容易说明它的秩不小于0-b
a0的秩即可。
两个矩阵乘积的秩满足的不等式有哪些
4楼：匿名用户
1、r(a)≤min(m，n)≤m，n。
2、r(ka+lb)≤r(a)+r(b)。
3、r(ab)≤min(r(a)，r(b)) ≤r(a)。
4、r(abc)≥r(ab)+r(bc)-r(b)。
5、r(ac)≥r(a) +r(c) -n上推，令b=in。
6、r(ka+lb)-n≤r(a)+r(b)-n≤r(ab)≤min(r(a)，r(b))≤r(a)。
扩展资料：m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩，否则矩阵是秩不足的。
矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵a的秩。通常表示为rk(a) 或 ranka。
只有零矩阵有秩0，a的秩最大为 min(m，n)f是单射，当且仅当a有秩n（在这种情况下，我们称a有“满列秩”）。
5楼：小乐笑了
行秩 = 列秩 = 秩
r(a) ≤
min(m,n) ≤ m, n
r(a+b) = r(b+a)
r(a-b) = r(b-a)
r(ka + lb)≤ r(a) + r(b)r(ab) ≤ min(r(a), r(b)) ≤r(a)r(b)
r(abc) ≥ r(ab) + r(bc) - r(b)frobenius(sylvester)不等式
r(ac) ≥ r(a) + r(c) - n上推，令b=inr(a+b)-n = r(b+a)-n
r(a-b)-n = r(b-a)-n
r(ka+lb)-n≤ r(a) + r(b) - n ≤ r(ab) ≤ min(r(a), r(b)) ≤r(a)
r(b)上推
两个矩阵的乘积为零 它们的 秩有什么关系
6楼：甜美志伟
关系：r(a)+r(b)<=n；
推导过程如下：
设ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩阵；
则 b 的列向量都是 ax=0的秩；
所以 r(b)<=n-r(a)；
所以 r(a)+r(b)<=n。
扩展资料：
秩性质我们假定a是在域f上的m×n矩阵并描述了上述线性映射。
只有零矩阵有秩 0a的秩最大为 min(m,n)f是单射，当且仅当a有秩n（在这种情况下，我们称a有“满列秩”）。
f是满射，当且仅当a有秩m（在这种情况下，我们称a有“满行秩”）。
在方块矩阵a（就是m=n) 的情况下，则a是可逆的，当且仅当a有秩n（也就是a有满秩）。如果b是任何n×k矩阵，则ab的秩最大为a的秩和b的秩的小者。
即：秩（ab）≤min（秩（a），秩（b)) 推广到若干个矩阵的情况。
就是：秩（a1a2...am)≤min（秩（a1），秩（a2），...
秩（am)) 证明：考虑矩阵的秩的线性映射的定义，令a、b对应的线性映射分别为f和g，则秩（ab)表示复合映射f·g，它的象im f·g是g的像im g在映射f作用下的象。
然而im g是整个空间的一部分，因此它在映射f作用下的象也是整个空间在映射f作用下的象的一部分。也就是说映射im f·g是im f的一部分。
对矩阵就是：秩（ab）≤秩（a）。对于另一个不等式：
秩（ab）≤秩（b），考虑im g的一组基：（e1，e2，...，en），容易证明（f(e1），f(e2），...
，f(en））生成了空间im f·g，于是im f·g的维度小于等于im g的维度。
对矩阵就是：秩（ab）≤秩（b）。因此有：秩（ab）≤min（秩（a），秩（b））。若干个矩阵的情况证明类似。
作为 "<" 情况的一个例子，考虑积 两个因子都有秩 1，而这个积有秩 0。可以看出，等号成立当且仅当其中一个矩阵（比如说a）对应的线性映射不减少空间的维度，即是单射，这时a是满秩的。
于是有以下性质：如果b是秩n的n×k矩阵，则ab有同a一样的秩。如果c是秩m的l×m矩阵，则ca有同a一样的秩。
a的秩等于r，当且仅当存在一个可逆m×m矩阵x和一个可逆的n×n矩阵y使得 这里的 ir指示r×r单位矩阵。证明可以通过高斯消去法构造性地给出。
矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数（这就是秩-零化度定理）。
7楼：墨陌沫默漠末
关系是r(a)+r(b)<=n。
因为ab=0，所以b的每一列都是线性
方程组ax=0的解。而根据线性方程组理论，ax=0的基础解系中线性无关的解的个数（或者说解空间的维数）≤ n-r(a)。
而b的列向量组是解空间的一部分，所以b的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(就是秩r(b))一定≤基础解系中线性无关的解的个数，也就是≤ n-r(a)，所以r(b)≤ n-r(a)，从而r(a)+r(b)<=n。
方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵a的秩。通常表示为r(a)，m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。
设a是一组向量，定义a的极大无关组中向量的个数为a的秩。
定义1、在m*n矩阵a中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成a的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为a的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵a的一个2阶子式。
定义2、a=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵a的秩，记作ra，或ranka或r(a)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显然ra≤min(m,n) 易得：
若a中至少有一个r阶子式不等于零，且在r由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(a)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(a)=0。
由行列式的性质1(1.5)知，矩阵a的转置at的秩与a的秩是一样的。
8楼：匿名用户
它们的秩序关系是一个数字乘以零
9楼：匿名用户
设ab = 0, a是mxn, b是nxs 矩阵则 b 的列向量都是 ax=0 的解
所以 r(b)<=n-r(a)
所以 r(a)+r(b)<=n
10楼：电灯剑客
如果a是mxn的矩阵，b是nxk的矩阵，ab=0，那么rank(a)+rank(b)<=n
11楼：alone丶
关系是:r(c)。。。。
两个矩阵相乘的秩
12楼：梦想队员
定理：如果ab=0，则秩(a)+秩(b)≤n。
证明：将矩阵b的列向量记为bi。∵ab=0，所∴abi=0，∴bi为ax=0的解。
∵ax=0的基础解系含有n-秩(a)个线性无关的解，∴秩(b)≤n-秩(a)，
即秩(a)+秩(b)≤n。
ps：这个结论在证明或者选择填空中都经常用到，需要记住并应用~
13楼：桥兰英夙缎
两种证明方法。
第一种是用分块矩阵乘法来证明。(不太好书写，可以见线性代数习题册答案集)；
第二种是线性方程组的解的关系来证明。
因为ab=0，所以b的每一列都是线性方程组ax=0的解。而根据线性方程组理论，ax=0的基础解系中线性无关的解的个数（或者说解空间的维数）≤
n-r(a)。而b的列向量组是解空间的一部分，所以b的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(就是秩r(b))一定≤基础解系中线性无关的解的个数，也就是≤
n-r(a)，所以r(b)≤
n-r(a)，从而r(a)+r(b)<=n。
两个矩阵乘积的秩为何能小于两个中小的那个？
14楼：笑书神侠客
楼主说的应该是r（ab）<=min(r(a),r(b))证明很简单，但是方法很重要
设ab=c，将矩阵b分块为b=(b1,b2,,,,,,bs) ，c分块为c=（c1,c2,,,,,cs）
则ab=(ab1,ab2,,,,,,abs) = （c1,c2,,,,,cs）
即 abi=ci 其中i=1,2，，，，s可知矩阵c的第i个列向量均是由矩阵a的所有列向量线性组合而成，而组合系数即为矩阵b的第i列的各分量。
既然c可以有矩阵a线性表示，即r（c）<=r(a)同理对b进行行分块也可证明
15楼：他说你妖言惑众
设ab=c，将矩阵b分块为b=(b1,b2,...,bs) ，c分块为c=（c1,c2,...,cs）
则ab=(ab1,ab2,...,abs) = （c1,c2,...,cs）
即 abi=ci 其中i=1,2，.......，s可知矩阵c的第i个列向量均是由矩阵a的所有列向量线性组合而成，而组合系数即为矩阵b的第i列的各分量。
既然c可以有矩阵a线性表示，即r（c）<=r(a)。
同理对b进行行分块也可证明。
矩阵与其转置矩阵乘积的秩与本身的秩
16楼：林若宇小木
设 a是 m×n 的矩阵。
可以通过
证明 ax=0 和a'ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(a'a)=r(a)
1、ax=0 肯定是 a'ax=0 的解，好理解。
2、a'ax=0 → x'a'ax=0 → (ax)' ax=0 →ax=0
故两个方程是同解的。
同理可得 r(aa')=r(a')
另外 有 r(a)=r(a')
所以综上 r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)
矩阵与其转置矩阵乘积的秩与本身的秩
1楼 林若宇小木 设 a是 m n 的矩阵。 可以通过 证明 ax 0 和a ax 0 两个n元齐次方程同解证得 r a a r a 1 ax 0 肯定是 a ax 0 的解，好理解。 2 a ax 0 x a ax 0 ax ax 0 ax 0 故两个方程是同解的。 同理可得 r aa r a 另...
关于矩阵乘以它的共轭转置矩阵的秩
1楼 电灯剑客 因为ax 0和a hax 0同解 ax 0 a hax 0 x ha hax 0 ax 0 所以rank a rank a ha 从而rank a ha rank aa h rank a rank a h 都相等 2楼 冉芷殳松雨 共轭矩阵又称hermite阵。hermite阵中每一...
编程实现求两个3 3矩阵的和,编程计算两个3×3矩阵乘积
1楼 匿名用户 include void input int in 3 3 void add int a 3 3 int b 3 3 int c 3 3 int main void return 0 2楼 听不清啊 读入矩阵后，直接相加求和就是了。 for i 0 i 3 i for j 0 j 3...