计算二重积分x+y)dxdy,其中D为x 2+y

1楼:匿名用户

这题的积分bai

区域---圆域的圆心du

为(1/2,1/2),半径zhi为(√2)/2

因为圆心非原点,dao

所以无论用直回角坐标还是极坐标,上下限答都不好确定。所以应想到把圆域平移到原点处,即用坐标变换。

但二重积分的坐标变换涉及到雅克比公式,一般来说比较麻烦,而此题只是平移,不涉及旋转,变形之类得,所以可省去雅克比的过程。

令x=(1/2)+u,y=(1/2)+v,则积分圆域变为以(0,0)为圆心,以(√2)/2为半径。

而原积分=∫∫(1+u+z)dudv

因为,变换后的积分区域关于u轴和v轴都对称,

且被积函数1+u+z关于u和v分别为奇函数

所以,∫∫ududv=∫∫vdudv=0

故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=变换后圆域面积=π/2

(但注意,平移的时候能像这样代入,因为雅克比行列式等于1,其他变换还要乘以雅克比行列式。)

计算二重积分∫∫(x+y)dxdy,其中d为x^2+y^2≤2x 30

2楼:匿名用户

楼上错的,楼上当作矩形区域算了

首先本题区域关于x轴对称,y关于y是一个奇函数,因此积分为0,所以被积函数中的y可去掉。

∫∫(x+y)dxdy

=∫∫xdxdy

用极坐标,x2+y2=2x的极坐标方程为:r=2cosθ

=∫[-π/2---->π/2] dθ∫[0---->2cosθ] rcosθ*rdr

=∫[-π/2---->π/2] cosθdθ∫[0---->2cosθ] r2dr

=∫[-π/2---->π/2] (cosθ)*(1/3)r3 |[0---->2cosθ] dθ

=(8/3)∫[-π/2---->π/2] cos4θ dθ

=(16/3)∫[0---->π/2] cos4θ dθ

=(16/3)∫[0---->π/2] [1/2(1+cos2θ)]2 dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (1+cos2θ)2 dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+cos22θ) dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (1+2cos2θ+1/2(1+cos4θ)) dθ

=(4/3)∫[0---->π/2] (3/2+2cos2θ+1/2cos4θ) dθ

=(4/3)(3/2θ+sin2θ+1/8sin4θ) |[0---->π/2]

=(4/3)(3/2)*(π/2)=π

3楼:永恒约定志

d可化为:(x-1)2+y2≤1,得:0≤x≤1,-1≤y≤11 1 1所以:∫∫(x+y)dxdy=∫ dx ∫(x+y)dy=∫ 2xdx=4

0 -1 0

也可以先对x积分

计算二重积分,∫∫(x+y)dxdy,其中d为x^2+y^2≤x+y,在极坐标下

4楼:桂琭穆惜寒

这题的积分区域---圆域的圆心为(1/2,1/2),半径为(√2)/2因为圆心非原点,所以无论用直角坐标还是极坐标,上下限都不好确定.所以应想到把圆域平移到原点处,即用坐标变换.但二重积分的坐标变换涉及到雅克比公式,一般来说比较麻烦,而此题只是平移,不涉及旋转,变形之类得,所以可省去雅克比的过程.

令x=(1/2)+u,y=(1/2)+v,则积分圆域变为以(0,0)为圆心,以(√2)/2为半径.而原积分=∫∫(1+u+z)dudv因为,变换后的积分区域关于u轴和v轴都对称,且被积函数1+u+z关于u和v分别为奇函数所以,∫∫ududv=∫∫vdudv=0

故∫∫(1+u+z)dudv=∫∫dudv=变换后圆域面积=π/2(但注意,平移的时候能像这样代入,因为雅克比行列式等于1,其他变换还要乘以雅克比行列式.)

5楼:水瓶永远的信心

如果很不熟练的话,画个图就很容易得到积分限了;但是如果区域复杂,也许很难画出图来。所以参考下面无需作图,直接确定积分限的通用方法:

计算二重积分∫∫(x^2+y^2+x)dxdy,其中d为区域x^2+y^2<=1

6楼:回金兰表妍

首先计算∫∫xdxdy,由于被积函数是关于x的奇函数,而积分区域关于y轴对称,所以∫∫xdxdy=0,原积分=∫∫(x^2+y^2)dxdy,用极坐标计算,=∫dθ∫r^3dr,(r积分限0到1,θ积分限0到2π)=2π/4=π/2

7楼:求墨彻曲环

这是二重积分,要确定积分上下限。

积分区域的图形知道吧?是闭环域。

换成极坐标后,角度θ从0积到2∏,r从1积到2。

表达式为∫dθ∫lnr^2

rdr,注意要写积分上下限。

然后算2个定积分就行了。

8楼:drar_迪丽热巴

由于被积函数是关于x的奇函数,而积分区域关于y轴对称,所以∫∫xdxdy=0,

原积分=∫∫(x^2+y^2)dxdy,用极坐标计算=∫dθ∫r^3dr,(r积分限0到1,θ积分限0到2π)=2π/4=π/2

在空间直角坐标系中,二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和,在xoy平面上方的取正,在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f(x,y)的所表示的曲面和d底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知,可以用二重积分的几何意义的来计算。

数值意义

二重积分和定积分一样不是函数,而是一个数值。因此若一个连续函数f(x,y)内含有二重积分,对它进行二次积分,这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

计算二重积分∫∫d(x+y)dxdy,其中d={(x,y)|x2+y2≤x+y+1}

9楼:仙剑李逍遥

做变量代换

x=x?12,

y=y?12,

则d==,

所以:i=?

d(x+y)dxdy=?

d(x+y+1)dxdy=?

dxdxdy+?

dydxdy+?

ddxdy.

因为d在(x,y)坐标系下是一个圆,且x,y分别是关于x,y的奇函数,

所以有:?

dxdxdy=0,?

dydxdy=0,

又:易知 ?

ddxdy=sd=32π,

所以:i=32π.

计算二重积分x+y)dxdy,其中D为x 2+y

计算二重积分x 2+y 2)dxdy,其中D

计算二重积分D(x+y)dxdy，其中Dx，y

计算二重积分D e(x+y)dxdy,其中Dx,y

计算二重积分x+y)dxdy,其中D为x 2+y

计算二重积分x 2+y 2)dxdy,其中D

计算二重积分D(x+y)dxdy，其中Dx，y

计算二重积分D e(x+y)dxdy,其中Dx,y

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