设函数f(x)x2+ax-lnx(1)若a 1,试求函数

1楼:风花雪月

(1)当a=1时,f(x)=x2+x-lnx,定义域为(0,+∞),∴e69da5e6ba9062616964757a686964616f31333335333639f′(x)=2x+1-1

x=2x

+x?1

x=(x+1)(2x?1)x,

∴当0

2,时f′(x)<0,当x>1

2时,f′(x)>0,

∴f(x)在(0,1

2)上单调递减,在(1

2,+∞)上单调递增,

(2)g(x)=f(x)ex

=x+ax?lnxex

,定义域为(0,+∞),

g′(x)=?x

+(2?a)x+a?1

x+lnxex

,令h(x)=?x

+(2?a)x+a?1

x+lnx,则h′(x)=-2x+1x+1x+2-a,

h′′(x)=-2-1x-1

x<0,故h′(x)在区间(0,1]上单调递减,从而对(0,1],h′(x)≥h′(1)=2-a1当2-a≥0,即a≤2时,h′(x)≥0,∴y=h(x)在区间(0,1]上单调递增,

∴h(x)≤h(1)=0,即f′(x)≤0,∴y=f(x)在区间(0,1]上是减函数,a≤2满足题意;

2当2-a<0,即a>2时,由h′(1)<0,h′(1a)=-2

a+a2+2>0,0<1

a<1,

且y=h′(x)在区间(0,1]的图象是一条连续不断的曲线,∴y=h′(x)在区间(0,1]有唯一零点,设为x0,∴h(x)在区间(0,x0)上单调递增,在(x0,1]上单调递减,∴h(x0)>h(1)=0,而h(e-a)=-e-2a+(2-a)e-a+a-ea+lne-a<0,

且y=h(x)在区间(0,1]的图象是一条连续不断的曲线,y=h(x)在区间(0,1)有唯一零点,设为x′,即y=f′(x)在区间(0,1)有唯一零点,设为x′,又f(x)在区间(0,x′)上单调递减,在(x′,1)上单调递增,矛盾,a>2不合题意;

综上所得:a的取值范围为(-∞,2].

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