1楼:匿名用户
|若baif(z0) ≠ 0, 则|f(z0)| > 0.
由f(z)在|duz-z0| < r内解析zhi, f(z)在z0的一个邻域内连dao续.
因此存在r > 0, 使|z-z0| < r时|f(z)-f(z0)| < |f(z0)|/2.
于是|f(z)| ≥ |f(z0)|-|f(z0)-f(z)| > |f(z0)|/2 > 0.
即f(z)在|z-z0| < r内没有零点.
若f(z0) = 0, 由f(z)在|z-z0| < r内解析且不恒为零, 根据解析函数的零点孤立性定理.
存在r > 0, 使f(z)在|z-z0| < r中只有z0这一个零点.
即f(z)在0 < |z-z0| < r内没有零点.
零点孤立性定理应该不用证了吧.
复变函数证明题,基础!求教!!!
2楼:援手
令z=x+iy,则rez=x,所以limrez/z=lim[x/(x+iy)],令y=kx,即z沿复平面上直线y=kx趋于0,则极限=limx/(x+ikx)=1/(1+ik),当k不同时极限不同,故极限不存在。
3楼:匿名用户
z=x+iy,则lim=lim(x/x+yi)取(1/n,0)和(-1/n,0),则这两个数列都趋近于(0,0)但第一个lim是1,第二是(-)1。因此极限发散,即z=0+i0处极限不存在
换言之,就是取y=0,x分别从上方和下方趋近,则一个lim是1,一个lim是-1
复变函数函数证明题
4楼:知导者
待证命题实际上是解析函数的平均值定理:
如果函数f(z)在单连通域版d上解析,z0是区域权d内的一点,曲线c是区域d内以z0点为圆心的圆周,那么f(z0)等于函数f(z)在曲线c上的平均值,即
f(z0)=1/2π*∫f(z0+re^iθ)dθ,其中r是圆周c的半径,积分范围是0到2π
因此这道题的关键在于通过这个调和函数u(x,y)构造出解析函数f(z)
下面给出构造得到的解析函数f(z):
设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),其中u,v都是实函数,并且v函数满足:
可以证明v是u的共轭调和函数,而且u、v满足柯西黎曼方程,因此函数f(z)是区域d上的解析函数
(详细过程这里没有给出,可以参考这篇**:《由调和函数构造解析函数的一种方法》,可以在中国知网查找)
因此根据柯西积分公式
由于c圆周的特殊性,可以令
所以由实部和虚部对应相等即得到待证命题
复变函数证明题 50
5楼:fly玛尼玛尼
直接证明:
(1)因为f(z)是解析函数,所以满足柯西-黎曼方程:而因此因此新函内数的容实部和虚部也满足柯西-黎曼方程,所以新函数也是解析函数。
(2)因为f=u+iv,所以
根据柯西-黎曼方程下复变函数的导数公式,得到因此同理得到
【注意:单下标表示一阶导数,双下标表示从左到右的二阶偏导数】因此证毕。
【注意:上图中标有红箭头的地方都用到了柯西-黎曼方程】
复变函数积分的一道证明题?
6楼:匿名用户
|令z=e^iθ,则dθ=dz/iz,当θ从0变化到2π时,z绕单位圆周一圈
∴原式=∫(|z|=1) (1+z+1/z)/(5+2z+2/z)*dz/iz
=1/i*∫(|z|=1) (z2+z+1)/z(2z2+5z+2)*dz
=1/2i*∫(|z|=1) dz/z-1/2i*∫(|z|=1) dz/(z+1/2)+1/2i*∫(|z|=1) dz/(z+2)
由柯西积分公式,1/2i*∫(|z|=1) dz/z=π,1/2i*∫(|z|=1) dz/(z+1/2)=-π
由柯西积分定理,1/2i*∫(|z|=1) dz/(z+2)=0
於是原式=π-π+0=0
7楼:闲云悠悠然
思路:首先由cauchy积分公式知道∫(e^z)/(z^2)dz=2pi*i。
其次,将上面的积分中令z=e^(it),-pi<=t<=pi,dz=e^(it)*i*dt,
代入可得2pi*i=∫(e^z)/(z^2)dz=i*∫(从-pi到pi)(e^cost)(cos(sint)cost+sin(sint)sint)dt+实部
分离虚部并注意到对称性可得
2pi=2∫(从0到pi)(e^cost)(cos(sint)cost+sin(sint)sint)dt
然后对∫(从0到pi)(e^cost)sin(sint)sintdt 分部积分
=-∫(从0到pi)sin(sint)d(e^(cost))
=∫(从0到pi)(e^cost)cos(sint)costdt
由此可得结论。
复变函数积分的一道证明题
8楼:匿名用户
^思路:首先由cauchy积分公式知道∫(e^z)/(z^2)dz=2pi*i。
其次,将上面的积分中令z=e^(it),-pi<=t<=pi,dz=e^(it)*i*dt,
代入可得2pi*i=∫(e^z)/(z^2)dz=i*∫(从-pi到pi)(e^cost)(cos(sint)cost+sin(sint)sint)dt+实部
分离虚部并注意到对称性可得
2pi=2∫(从0到pi)(e^cost)(cos(sint)cost+sin(sint)sint)dt
然后对∫(从0到pi)(e^cost)sin(sint)sintdt 分部积分
=-∫(从0到pi)sin(sint)d(e^(cost))
=∫(从0到pi)(e^cost)cos(sint)costdt
由此可得结论。
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