1楼：匿名用户
函数极值处导数为0，拐点处是二阶导数为零……拜托弄明白了再问。
至于证明，任何一本微积分书上都有吧？
大致方法是，极值处，一边导数是正的，一边是负的，做两个序列用极限夹一下就出来了。
2楼：匿名用户
极值求导后为0，拐点2阶导数为零，需要有连续性
函数的拐点与其一阶导数的极值点的关系 50
3楼：知识青年
极值点处一阶导数为0,一阶导数描述的是原函数的增减性；拐点处二阶导数为0,二阶导数描述的也是原函数的增减性。
如果该函数在该点及其领域有一阶二阶三阶导数存在，那么函数的一阶导数为0，且二阶导数不为0的点为极值点；函数的二阶导数为0，且三阶导数不为0的点为拐点。如，y=x^4, x=0是极值点但不是拐点。如果该点不存在导数，需要实际判断，如y=|x|, x=0时导数不存在，但x=0是该函数的极小值点。
4楼：
你的问题。
设函数f（x）在某u（x0）邻域二阶可导，且x0为拐点。
第一个。拐点就是f ‘(x)极值点。
按照拐点定义，拐点两侧的函数凹凸性不同。
设在u-（x0）（即x0左邻域）函数是凸函数，在u+（x0）（即x0右邻域）函数为凹函数。
因为函数二阶可导，所以根据凹凸性充分必要条件
对于x∈u-（x0），f "（x）=[f '（x）] '≥0.（在左邻域是凸函数）
对于x∈u+（x0），f "（x）=[f '（x）] '≤0.（在右邻域是凹函数）
所以由极值第一充分条件得到函数f '（x）在x0取得极大值。
类似可以讨论在u-（x0）（即x0左邻域）函数是凹函数，在u+（x0）（即x0右邻域）函数为凸函数的情况。
所以f(x)拐点就是f '(x)极值点。
而f '(x)极值点是否是f(x)拐点呢？我觉得不是。对于一次多项式函数。
它们的导函数显然有极值点（导函数是常函数，每个点都是极值点），但是这种函数却没有拐点，既然连拐点都没有那当然不能说极值点就是拐点了。
另外对于你**里面最上面的红线所画出的部分。因为根据拐点定义，如果某点是函数的拐点，那么函数在该点的切线与这个函数必相交于这个拐点，也就是说函数在该点的切线在这个点穿过曲线（这个是直观的说法）。这样就要求曲线在该点有切线，既然要求有切线，如果切线不是垂直切线，那么函数在该点可导，则函数必在该点连续，如果切线是垂直切线那么虽然函数在该点不可导，但是连续。
（本段内容请参看任意一本数学分析，推荐华东师大的《数学分析》或者walter rudin的《principle of mathematical analysis》）
而你第三条红线下面的那一段，就是那个”注“。实际上是极值第三充分条件。
以上内容可参考华东师范大学数学系编著的《数学分析》，”微分中值定理及其应用“这一章
5楼：匿名用户
这不是规范的教材，这里【具有足够阶数的导数】的概念是教学经验不足的青年教师杜撰的，应该是【具有足够阶数的可导性】。成熟的老年教师要经得起吹毛求疵。
如果二阶导数具有连续性，或者具有三阶可导性，那么【f(x)的拐点即为f'(x)的极值点】结论成立。
证明这个结论杀鸡何须牛刀，根本用不上泰勒公式。
用【拉格朗日中值定理】f'(x)-f"(x0)=f"(α)(x-x0) 即可。
f"(α)在左右邻域变号，x-x0在左右邻域也变号，f'(x)-f"(x0)=f"(α)(x-x0) 就不变号了，结论得证。
——山路水桥
极值点处导数一定为零吗
6楼：我是一个麻瓜啊
不一定。
如果在极值点处函数可导，则极值点处导数为零；
如果在极值点处函数不可导，就谈不上导数是否为零了，因为在那一点根本就没有导数。
若f(a)是函数f(x)的极大值或极小值，则a为函数f(x)的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点。极值点是函数图像的某段子区间内上极大值或者极小值点的横坐标。
极值点出现在函数的驻点（导数为0的点）或不可导点处（导函数不存在，也可以取得极值，此时驻点不存在）。
7楼：发一叶知秋
x的绝对值为一个函数，在x为零的点，不可导，左右两边导数不同，所以，不一定
8楼：lv琥珀
费马定理 说 连续 且是极值点，那么该点导数必定为0.所以需要满足两个条件，一个是连续，一个是极值点
9楼：2807小鹿
对啊，极值点的定义就是那样。
怎样判定函数极值和拐点啊？用导数判定
10楼：杰213杰
求极值用一阶求导 拐点二阶求导
11楼：⑥繠
极值点是在一定范围内有的，拐点结合函数单调性和图像求得的
怎样判定函数极值和拐点啊？用导数判定
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1楼 匿名用户 f x 是一个二次函数时， 如果 0 导函数数的值就恒为正值，或恒为负值，这样原函数f x 在定版义域上单调权 ，不存在极值点， 如果 0，导函数有只一的零点，在零点的左右两同号，导函数f x 还是单调函数，不存在极值， 所以，导函数的 0 2楼 其莉刑智鑫 f x 是一个二次函数时...