已知函数f(x)x3-ax2+3x(1)若x 3是f(x

2021-02-26 14:41:55 字数 4185 阅读 1145

1楼:达尔尼

(1)∵f(x)=x3-ax2+3x.bai∴f′(dux)=3x2-2ax+3.

由题意有f′(3)=0,

解zhi得a=5,

故daof(x)=x3-5x2+3x,

∴f′(x)=3x2-10x+3.

令专 f′(x)=0,解得 x=3∈[2,5],x=13 (舍去属

),易知f(x)在区间[2,3]上单调递减,在[3,5]上单调递增,而f(2)=-6,f(5)=15,f(3)=-9

故f(x)在区间[2,a]上的最大值为15,最小值为-9;

(2)f(x)在x∈[1,+∞)上单调递增,∴f′(x)=3x2-2ax+3≥0对任意x∈[1,+∞)恒成立,∴a≤3

2(x+1

x)任意x∈[1,+∞)恒成立,∵32

(x+1

x)≥3

2?2=3,当且仅当x=1时等号成立

∴a≤3,

即实数a的取值范围(-∞,3].

已知函数f(x)=x3-ax2-3x.(1)若函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.(2)若x=

2楼:红颜一笑丿禖

(1)f′(x)=3x2-2ax-3,

∵f(x)在[1,+∞)是增函数,

∴f′(x)≥0在[1,+∞)上恒

成立,即3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立.则必有a

3≤1,且f′(1)=-2a≥0.

∴a≤0.

(2)依题意,f′(-1

3)=0,即13

+23a-3=0,∴a=4.

∴f(x)=x3-4x2-3x.

令f′(x)=3x2-8x-3=0,

得x1=-1

3,x2=3.

则当x变化时,f′(x)与f(x)变化情况如下表x1(1,3)

3(3,4)

4f′(x)-0

+f(x)

-6-18

-12∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)=-6.(3)函数g(x)有3个零点?方程f(x)-bx=0有3个不相等的实根.

即方程x3-4x2-3x=bx有3个不等实根.∵x=0是其中一个根,

∴只需满足方程x2-4x-3-b=0有两个非零不等实根.∴?3?b≠0

16?4(?3?b)>0

∴b>-7且b≠-3.

故实数b的取值范围是b>-7且b≠-3.

已知函数f(x)=x3-ax2-3x,a∈r.(1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求a的取值范围;(2)若f (

3楼:血刺节奏h献

(1)∵f(x)=x3-ax2-3x,

∴copyf′(x)=3x2-2ax-3,∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,?

∴f′(x)在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,?

即3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立.则必有a

3≤1且f′(1)=-2a≥0,

∴a≤0,即实数a的取值范围是(-∞,0];

(2)求导函数,可得f′(x)=3x2-2ax-3,∵函数f(x)=x3+ax2+x在(-1,2)有两个极值点,∴方程3x2-2ax-3=0在(-1,2)上有两个不等的根,∴△>0

f′(?1)>0

f′(2)>0即4a

+36>0

3+2a?3>0

12?4a?3>0

,解得:0

∴a的取值范围是(0,94).

已知函数f(x)=-x3+ax2-4.(1) 若f(x)在x=43处取得极值,求实数a的值;(2) 在(i)的条件下,若

4楼:天堂梦丶蕋梜

(1)f'(x)=-3x2+2ax,由题意得f′(4

3)=0,解得a=2,经检

验满足条件.

(2)由(1)知f(x)=-x3+2x2-4,f'(x)=-3x2+4x,

令f'(x)=0,则x1=0,x=43

(舍去).f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1

(-1,0)

0(0,1)

1 f'(x)-0

+ f(x)-1↘

-4↗-3∴f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,

∴f(x)极小值=f(0)=-4,如图构造f(x)在[-1,1]上的图象.

又关于x的方程f(x)=m在[-1,1]上恰有两个不同的实数根,

则-4

(3)解法一:因存在x0∈(0,+∞),使得不等式f(x0)>0成立,

故只需要f(x)的最大值f(x)max>0即可,

∵f(x)=-x3+ax2-4,∴f′(x)=?3x

+2ax=?3x(x?2

3a).

1若a≤0,则当x>0时,f'(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)单调递减.

∵f(0)=-4<0,∴当x>0时,f(x)<-4<0,

∴当a≤0时,不存在x0∈(0,+∞),使得不等式f(x0)>0成立.

2当a>0时f(x),f'(x)随x的变化情况如下表:

x(0,23a)

23a (2

3a,+∞)

f'(x)+0

- f(x)↗4a

27?4

↘∴当x∈(0,+∞)时,f(x)

max=f(2

3a)=4a

27?4,由3a

27?4>0得a>3.

综上得a>3,即a的取值范围是(3,+∞).

解法二:根据题意,只需要不等式f(x)>0在(0,+∞)上有解即可,

即-x3+ax2-4>0在(0,+∞)上有解.即不等式a>x+4

x在(0,+∞)上有解即可.

令g(x)=x+4

x,只需要a>g(x)min

而g(x)=x+4x=x

2+x2+4

x≥33x2

?x2?4x

=3,当且仅当x2=4

x,即x=2时“=”成立.

故a>3,即a的取值范围是(3,+∞).

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a,b∈r)(1)若函数f(x)在x=1处有极值为10,求b的值;(2)若对任意a

5楼:平贺刹那

(e68a8462616964757a686964616f313333373762661)f'(x)=3x2+2ax+b

则f′(1)=3+2a+b=0

f(1)=1+a+b+a

=10?

a=4b=?11

或a=?3

b=3...(5分)

当a=4

b=?11

时,f'(x)=3x2+8x-11,△=64+132>0,所以函数有极值点;

当a=?3

b=3时,f′(x)=3(x?1)

≥0,所以函数无极值点;

则b的值为-11....(7分)

(2)解法一:f'(x)=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成立

则f(a)=2xa+3x2+b≥0对任意的a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成立∵x≥0,f(a)在a∈[-4,+∞)单调递增或为常数函数

所以得f(a)min=f(-4)=-8x+3x2+b≥0对任意的x∈[0,2]恒成立,

即b≥(-3x2+8x)max,又?3x

+8x=?3(x?43)

+163

≤163

,当x=4

3时(?3x

+8x)

max=16

3,得b≥16

3,所以 b的最小值为16

3. ...(15分)

解法二:f'(x)=3x2+2ax+b≥0对任意的a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成立

即b≥-3x2-2ax对任意的a∈[-4,+∞),x∈[0,2]都成立,

即b≥(-3x2-2ax)max.令f(x)=?3x

?2ax=?3(x+a3)

+a31当a≥0时,f(x)max=0,∴b≥0;

2当?4≤a<0时,f(x)

max=a

3, ∴ b≥a3.

又∵(a3)

max=16

3,∴b≥163.

综上,b的最小值为16

3....(15分)

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