1楼:雀增岳章胭
先看曲面:z=x∧2+y∧2,它是旋转抛物面,像碗一样,外侧所有点的法向量与z轴的指向都朝下,这是夹角不是锐角。所以是内测
计算三重积分i=∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz,其中是ω由曲面z=(x^2+y^2)^(1/2)与z=2-x^2-y^2所围成的闭区域
2楼:晓龙修理
结果为:
解题过程如下:
求三重积分闭区域的方法:
设三元函数f(x,y,z)在区域ω上具有一阶连续偏导数,将ω任意分割为n个小区域,每个小区域的直径记为ri(i=1,2,...,n),体积记为δδi,||t||=max,在每个小区域内取点f(ξi,ηi,ζi),作和式σf(ξi,ηi,ζi)δδi。
若该和式当||t||→0时的极限存在且唯一(即与ω的分割和点的选取无关),则称该极限为函数f(x,y,z)在区域ω上的三重积分,记为∫∫∫f(x,y,z)dv,其中dv=dxdydz。
设三元函数z=f(x,y,z)定义在有界闭区域ω上将区域ω任意分成n个子域δvi(i=123...,n)并以δvi表示第i个子域的体积.在δvi上任取一点。
果空间闭区域g被有限个曲面分为有限个子闭区域,则在g上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。
先一后二法投影法,先计算竖直方向上的一竖条积分,再计算底面的积分。区域条件:对积分区域ω无限制;函数条件:对f(x,y,z)无限制。
先二后一法(截面法):先计算底面积分,再计算竖直方向上的积分。区域条件:
积分区域ω为平面或其它曲面(不包括圆柱面、圆锥面、球面)所围成函数条件:f(x,y)仅为一个变量的函数。
3楼:匿名用户
第四题你的写法是对的,答案应该不是16π/3
另外,你的做法并不是柱坐标系计算,而是极坐标计算,下面给出柱坐标系的计算,你会发现最终答案和你是一样的
第三题的列式是对的,具体计算没细看
4楼:匿名用户
选用柱坐标表示:0≤θ≤2pi,0≤r≤1,r2≤θ≤2-r2,
计算三重积分∫∫∫ω(x^2+y^2)dv,其中ω是由曲面x^2+y^2=2z和z=2所围成的闭区域
5楼:晓龙修理
^结果为:16π/3
解题过程如copy下:
解:原式=∫
<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫r^2dz (作柱面坐标变换)
=2π∫<0,2>r^3(2-r^2/2)dr
=2π∫<0,2>(2r^3-r^5/2)dr
=2π(2^4/2-2^6/12)
=2π(8/3)
=16π/3
求函数积分的方法:
设f(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数f(x)+c(c为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,记作,即∫f(x)dx=f(x)+c。
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,c叫做积分常数,求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说,对于一个给定的实函数f(x),在区间[a,b]上的定积分。
若f(x)在[a,b]上恒为正,可以将定积分理解为在oxy坐标平面上,由曲线(x,f(x))、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值(一种确定的实数值)。
6楼:匿名用户
^你做错了,不能那么转换。
解:原式=∫<0,2π>dθ∫<0,2>rdr∫专2/2,2>r^2dz (作柱面坐标属变换)
=2π∫
<0,2>r^3(2-r^2/2)dr
=2π∫<0,2>(2r^3-r^5/2)dr=2π(2^4/2-2^6/12)
=2π(8/3)
=16π/3。
计算由曲面z=2-x^2-y^2及z=√(x^2+y^2)所围成的立体的体积
7楼:您输入了违法字
首先将两个方程并列找出两个曲面相交的曲线.通过消去z,得到:
2-x2=x2+2y2
即x2+y2=1
所以,此曲线位于半径为1的圆柱面上.那么x和y的积分限很容易就找到了:x2+y2=1
要找到z的积分限,就需要知道两个曲面哪个在上面,哪个在下面.因为所包的体积在圆柱内部,所以要求x2+y2<1.用这个条件,我们发现2-x2>x2+2y2,即z=2-x2在上面,z=x2+2y2在下面。
根据上面的讨论,我们就可以写出体积分:
v=∫∫dxdy∫_(x2+2y2)^(2-x2)dz
这里用符号_(x2+2y2)来表达z积分的下限,^(2-x2)表达z积分的上限.(记住xy积分限是圆形x2+y2=1.)
对z的积分很容易:
∫_(x2+2y2)^(2-x2)dz=(2-x2)-(x2+2y2)=2-2x2-2y2
剩下的就是对xy的两重积分。
v=∫∫(2-2x2-2y2)dxdy
这个积分最容易在极坐标里做.变换为极坐标时,x2+y2=r2,dxdy=rdrdφ.积分限为r从0到1,φ从0到2π.
v=∫∫(2-2x2-2y2)dxdy=∫_0^1(2-2r2)rdr∫_0^(2π)dφ
两个积分各为:
∫_0^(2π)dφ=2π
∫_0^1(2-2r2)rdr=r2-(1/2)r^4|_0^1=1/2
v=(1/2)2π=π
所以体积是π。
8楼:cyxcc的海角
联立方程,消去z得交线在xoy面的投影曲线为x^2+y^2=1,所以v=∫∫x^2+y^2<=1(2-x^2-y^2-√(x^2+y^2))dxdy=5∏/6(二重积分自己算一下吧)
高数~三重积分问题:求曲面x^2+y^2+z^2=a^2与x^2+z^2=b^2(0
9楼:匿名用户
原式=∫∫源(x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz)ds=∫∫(x2+y2+z2)ds+∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds
=∫∫a 2ds +0+0+0
=a2 4πa2
=4πa^4
注:1、∫∫(x2+y2+z2)ds=∫∫a 2ds (利用曲面积分可将曲面方程代入)
2、∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds=0+0+0 (利用曲面积分的对称性)
设二元函数z x 2+xy+y 2-x-y,x 2+y
1楼 匿名用户 当x y 2 2时 x 2 y 2最大 xy最大 x y最大 所以最大值 3 2 2 z x 2 y 1 x y 2 y 当x 1 y 2时有最小值 又z x 2 y 2 y 1 y x 且 y 1最小值存在时x 0 y 0 1 y 2 2 y 2 在 y 0 y 1时恒小于等于1即...
求u x 2+y 2+z 2在x c 1上的最小值
1楼 晴天雨丝丝 用高等数学 拉格朗日乘数法 不用花脑筋，但求驻点时运算量太大！以下用初等数学解答，相对简洁许多！ 求函数u x 2 y 2 z 2在椭球面x 2 a 2 y 2 b 2 z 2 c 2 1上点m x y z 处沿外法线方向的方向导数 2楼 匿名用户 设f x 2 a 2 y 2 b...
曲面z 1-x 2-y 2是什么样的图形
1楼 匿名用户 z 1 x 2 y 2表示把zox平面内的抛物线z 1 x 2绕着z轴旋转一周得到的旋转抛物面，参考下面示意图 2楼 匿名用户 曲面z 1 x 2 y 2是旋转抛物面，就是一条抛物线绕其对称轴一周。以下是微积分解法 1dxdydz，用截面法来做 0 1 dz 1dxdy ，其中二重积...