1楼：
按照连续的定义，要求函数在某一点x0连续，那么该函数在x0的一个小领域内必须有定义，和该领域内其他点是否连续没有关系
函数在一点连续，那么它在这一点邻域连续吗
2楼：匿名用户
不一定。反例：
只在一点（x = 0）连续的函数：
当 x 是无理数时，f(x) = 0
当 x 是有理数时，f(x) = x
函数在一点上没有定义,那么函数在这一点上一定不连续吗？
3楼：匿名用户
首先，连续的定义是f（x）在x=x0点处的极限值等于函数值。
所以从定义就可以看到，如果f（x）在x=x0点处都没定义的话，就不可能有函数值，当然就不可能满足极限值等于函数值的要求，就不可能连续。
至于你说的“讨论函数f(x)=x^2sin1/x (x≠0) 0 (x=0)在点x=0处的连续性与可导性
但是像这道题，x在0除没有定义，那还为什么要讨论在x=0处的连续性和可导性呢”
是你理解错误。
这是个分段函数，在x≠0的时候，函数式是x^2sin1/x (x≠0)，而在x=0的时候，人为的把函数值定义为0（0 (x=0)）
所以这个函数在x=0点处是有定义的，定义的函数值就是f（0）=0。
其实就是原本函数式x^2sin1/x虽然在x=0点处无定义，但是当x趋近于0的时候，有极限，极限=0，所以人为的补充x=0处的函数值为f（0）=0的话，就把原来不连续的函数化为连续的函数了。所以x=0这类点被称为x^2sin1/x的可去间断点，虽然是间断点，但是可以人为改变间断点处函数值的定义来化为连续函数。
你对分段函数的理解不到位啊。
函数在一点可导不能说明在该邻域连续，那么导函数在一点可导，能否说该函数在该邻域连续呢?
4楼：风痕云迹
能。 函数在一点可导，则必在该点处连续。
"导函数在一点可导" 的前提是导函数必在那点的某一邻域存在，于是函数在此邻域中连续。
请问一个函数在一点的邻域内可导，在这一点是否可导？为啥？
5楼：宁哥
函数在哪一点可导，函数就在那一点连续。函数在一点连续，隐含在这点的邻近有定义。非数学专业大学生只学一点微积分基础，要从学过的理论出发，不要乱假设。
比如“高等微积分（《数学分析》）的第一章，讲实数的完备性。即全体实数与数轴上的点成功一一对应。尽管有理数具有稠密性，即任意两个实数之间必定至少有一个有理数，但是全体有理数是一个可列集。
其“测度”为0，实轴上几乎全是无理数。”
打字不易，如满意，望采纳。
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