1楼:匿名用户
证明:令g(x)=xf(x),g'(x)=f(x)+xf'(x)∵制f(x)在bai[0,1]连续,在(du0,1)可导∴g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导∵g(0)=0,g(1)=f(1)=0
∴根据罗尔中值定理知道,zhi
存在ξ∈(dao0,1)使得g'(ξ)=0∴g'(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ)=0
∴f'(ξ)=-f(ξ) /ξ
命题得证
2楼:雾光之森
令baig(x)=xf(x),0<=x<=1.
那么g(0)=g(1)=0,g'(x)=xf'(x)+f(x).
则根据罗尔定理,存du在ξ
zhi∈(0,1),使得g'(ξ)=ξf'(ξ)+f(ξ)=0,即daof'(ξ)=-f(ξ)/ξ.
[附上思路
内:根据结论考虑容f'(x)+xf(x),看它能否变成某个新函数的导数,容易观察得出xf(x)就是所需要的.]
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点ε∈(0,1),使f'(x)=-f(ε)/ε。
3楼:你爱我妈呀
证明过程如下:
设g(x)=xf(x),
则g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0。
所以g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且g(0)=g(1),由罗尔中值定理得:
存在一点ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0.
所以f'(ε)=-f(ε)/ε。
4楼:匿名用户
证明:设g(x)=xf(x),
则g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0
所以g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且g(0)=g(1),由罗尔中值定理得:
存在一点ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0
所以f'(ε)=-f(ε)/ε
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)f(1)<0.求证:存在ξ∈(0,1),使得ξf′
5楼:手机用户
令g(x)=x2e-xf(x)du,zhi则g(x)在[0,1]上连续dao,在(回0,1)内可导,且答
g′(x)=xe-x[xf′(x)+(2-x)f(x)].因为f(0)f(1)<0,
由连续函数的零点存在定理可得,?c∈(0,1)使得f(c)=0,从而g(c)=0.
又因为g(0)=0,
故对函数g(x)在区间[0,c]上利用罗尔中值定理可得,存在ξ∈(0,1),使得g′(ξ)=0,
即:ξe-ξ[ξf′(ξ)+(2-ξ)f(ξ)]=0.又因为ξe-ξ≠0,
故ξf′(ξ)+(2-ξ)f(ξ)=0.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,证明存在一点(0,1),使f'(ζ)=1
6楼:有点闷
因为f(x)在[0,3]上连续
bai,所以
duf(x)在[0,2]上连续zhi,且在[0,2]上必有dao最大值m和最小值m,于是:
版m≤权f(0)≤m,m≤f(1)≤m,m≤f(2)≤m,故:m≤f(0)+f(1)+f(2) 3 ≤m,由介值定理知,至少存在一点c∈[0,2],使得: f(c)=f(0)+f(1)+f(2) 3 =1,又由:
f(c)=1=f(3),且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,满足罗尔定理的条件,故:必存在ξ∈(c,3)?(0,3),使f′(ξ)=0.
7楼:匿名用户
由拉格朗日du中值定理zhi,
存在a∈(1/2,1), [f(1/2)-f(1)]/(1/2-1)=f'(a), 即f'(a)=-2 ,
存在b∈(0,1/2), [f(1/2)-f(0)]/(1/2-0)=f'(a), 即f'(b)=2 ;
令φdao(x)=f'(x)-1,则φ(a)=f'(a)-1=-3, φ(b)=f'(b)-1=1 ;
则有φ(a)*φ(b)<0,根据零点定回理,存在ζ∈(b,a),使得φ答(ζ)=0, 即f'(ζ)-1=0
f'(ζ)=1得证。
ps.这边可能缺少对f'(x)连续性的证明
8楼:茹翊神谕者
先用零点定理,
再用罗尔定理,详情如图所示
设函数f(x)在〔0,1〕上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,证明
9楼:匿名用户
f=f(x)e^(x/2),f在区间[0,1]満足罗尔定理的条件.由罗尔定理,在(0,1)内至少有一点ξ,使f'(ξ)=0,但f'(x)=f'(x)e^(x/2)+(1/2)f(x)e^(x/2),代入即得结论
10楼:扈琇仁冬萱
令g(x)=x2f(x)
则g(0)=g(1)=0
由中值定理:存在&∈(0,1),使
g'(&)
=2&f(&)+&2f'(&)=0
即2f(&)+&f'(&)=0
f(x)在连续且f(x)0，证明f(x)dx
1楼 匿名用户 本题要求f x 在 a b 上恒正 或恒负 左边 a b f x dx a b 1 f x dx积分变量可随便换字母 a b f x dx a b 1 f y dy这样变成一个二重积分 f x f y dxdy 其中 积分区域是a x b a y b 这个区域具有轮换对称性 1 2 ...
设f（x）在上具有一阶连续导数，f（0）0，证明
1楼 你妹 令 f x f x x f 0 0 f 1 0 f x 在 0 1 上可导 连续， 故至少在 0 1 内有一点 ，使得 f 0 即 f 下面用反证法证明 只有一个。 假设存在 1， 2 0 1 f 1 0 且 f 2 0 由罗尔中值定理，必存在 1， 2 f f 1 0 f 1 这与 f...
证明Y SINX的绝对值在X 0处连续但不可导
1楼 爱迪奥特曼 开 我来帮你分析下，你可以耐心地看看 首先用图像的方法证明，当 00 ，存在 d e 2 0，当 x 0 x 有 sin x 0 sin x x 而 sin 0 0 ，所以 sin x 在0点连续 导数的话就是你上面写的，由于右导数 1，左导数 1，左右导数不相等所以 sin x ...