1楼：匿名用户
证明：设√du3=p/q(p、q为互质的整数)，zhi则3=p^dao2/q^2，p^2=3q^2，∴p是3的倍数，设版p=3k(k为整数)，9k^2=3q^2，q^2=3k^2，
∴q也是3的倍数，
这样权p、q有公因数3，这与假设中p、q互质矛盾，∴√3不能表示成两个整数的比，即√3不是有理数，所以√3是无理数。
如何证明π是无理数？
2楼：demon陌
把tan(m/n)写成一个繁分
数的形式，如果m/n是有理数，这个繁分数的项数就是无穷的，但是根据繁分数的性质，项数是无穷的繁分数表示的的是一个无理数。
由于这个命题是真(繁分数的性质)，这句话的逆反命题，也就是对于项数有限的繁分数，m/n是无理数也是真。tan(pi/4)=1，1是有限项的繁分数，所以pi/4是无理数。
把圆周率的数值算得这么精确，实际意义并不大。如果以39位精度的圆周率值，来计算可观测宇宙的大小，误差还不到一个原子的体积。
3楼：莱特信息科技****
这个问题最早是由德国数学家lambert在17世纪证明出来的.他的证明是把tan(m/n)写成一个繁分数的形式,如果m/n是有理数,这个繁分数的项数就是无穷的,但是根据繁分数的性质,项数是无穷的繁分数表示的的是一个无理数.由于这个命题是真(繁分数的性质),这句话的逆反命题,也就是对于项数有限的繁分数,m/n是无理数也是真.
tan(pi/4)=1,1是有限项的繁分数,所以pi/4是无理数.
现在还有好多别的证明方法.比方说可以用证明自然对数底e是无理数的反正法来证.大体来说就是建立一个大于0的数的数列,然后如果假设pi是有理数,这个数列会同时是一个大于0(不是大于等于),并且向0无限接近的数列,然后得出pi只能是无理数
请证明：根号三是无理数
4楼：风之鹞
^^1、假设根号3=p/q(p、q为互质整数）,则p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是质数,所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾,所以根号3是无理数
2、设x=根号3,则有方程x^2=3
假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数）,根据牛顿有理根定理p整除3,q整除1,所以p=1或3,q=1,从而x=1或3,显然x=1或3不是方程x^2=3的根,矛盾.
3、设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1
根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt为整数,矛盾
拓展资料：
由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪下半叶。1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机。
5楼：匿名用户
^证明根号3是无理数，使用反证法
如果√3是有理数，必有√3=p/q（p、q为互质的正整数）两边平方：3=p^2/q^2
p^2=3q^2
显然p为3的倍数，设p=3k（k为正整数）有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2
于是q于是3的倍数，与p、q互质矛盾
∴假设不成立，√3是无理数
6楼：雄鹰
分析：①有理数的概念：
“有限小数”和“无限循环小数”统称为有理数。
整数和分数也统称为有理数。
所有的分数都是有理数，分子除以分母，最终一定是循环的。
②无理数的概念：无限不循环小数，可引申为“开方开不尽的数”。
③反证法的要领是假设一个明显荒谬的结论成立，然后正确地证明原假设是错误的。
解：假设(√3)是有理数，
∵ 1＜3＜4
∴(√1)＜(√3)＜(√4)
即：1＜(√3)＜2
∴(√3)不是整数。
∵整数和分数也统称为有理数，而(√3)不是整数
∴在假设“(√3)是有理数”的前提下，(√3)只能是一个分子分母不能约分的分数。
此时假设 (√3) = m/n(m、n均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除1外再无公因数)
两边平方，得：
m / n = 3
∴m 是质数3的倍数
我们知道，如果两个数的乘积是3的倍数，那么这两个数当中至少有一个数必是3的倍数。
∴由“m (m与m的乘积) 是质数3的倍数”得：正整数m是3的倍数。
此时不妨设 m = 3k(k为正整数)
把“m = 3k” 代入“m / n = 3” ，得：
(9k) / n = 3
∴3k = n
即：n / k = 3
对比“m / n = 3“ 同理可证
正整数n也是3的倍数
∴正整数m和n均为3的倍数
这与“m、n均为正整数且互质”相矛盾。
意即由原假设出发推出了一个与原假设相矛盾的结论，
∴原假设“(√3) = m/n(m、n均为正整数且互质，二者不能再约分，即二者除1外再无公因数)”是不成立的。
∴(√3) 不能是一个分子分母不能约分的分数
而已证(√3) 不是整数
∴(√3) 既 不是整数也不是分数，即(√3) 不是有理数。
∴(√3) 是无理数。
7楼：迟沛山告琳
方法一：假设根号3=p/q(p、q为互质整数），则p^2=3q^2
所以3整除p^2,因3是质数，所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾，所以根号3是无理数
方法二：设x=根号3，则有方程x^2=3
假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数），根据牛顿有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，从而x=1或3，显然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。
方法三：设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1
根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt为整数，矛盾
8楼：朴卉吾嘉懿
^反证：假设根号3是有理数，则存在两个互质整数m和n使得根号3=m/n.两边平方并整理得m^2=3n^2,
于是m是3的倍数，令m=3q,
代入上式整理得：n^2=3q^2,
故n也是3的倍数，这与m,n互质矛盾。故根号3是无理数。证毕。
怎么证明根号三是无理数
9楼：史初然乜魄
^以下是我搜来的。。
方法一：假设
根号3=p/q(p、q为互质整数），则p^2=3q^2所以3整除p^2,因3是质数，所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾，所以根号3是无理数方法：设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1
根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt为整数，矛盾
10楼：匿名用户
证明根号3是无理数，使用反证法
如果√3是有理数，必有√3=p/q（p、q为互质的正整数）两边平方：3=p^2/q^2
p^2=3q^2
显然p为3的倍数，设p=3k（k为正整数）有9k^2=3q^2 即q^2=3k^2
于是q也是3的倍数，与p、q互质矛盾
∴假设不成立，√3是无理数
11楼：节天千娟妍
反证法：
假设结论不成立（接下来用a表示根号3，因为不好打），即a为有理数，那么存在正整数p和q（p,q无公因子，或称互质）,使得a=p/q(有理数的性质)，两边平方，得到
p^2=3*q^2,
接下来分析，（具体过程可以有多种，但是都是从公因子3入手，引出矛盾）因为等号右边有因子3，且3为质数，因此p一定是3的倍数，设p=3r,代入等式并约分得到，
3*r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍数，于是p、q均为3的倍数，与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理，知a为无理数
如何证明根号3是无理数
12楼：匿名用户
用反证法
假设根bai号du3是有理数，则必然能写zhi成最简分数daon/m,n与m为互质整数。
令 根号回3=x
x的平方
答=3=n的平方/m的平方
3为正整数，同时也是有理数，n的平方与m的平方互质（由n与m为互质整数得出）即不存在公约数，则m的平方必为1（不然无法等于一个整数3） 3=n的平方=x的平方
推出根号3=x=n, 由于n为整数，则根号3也为整数，显然是不对的，所以
根号3为无理数
13楼：
^方法du
一：假设根号3=p/q(p、q为互质整zhi数），则p^2=3q^2
所以dao3整除内p^2,因3是质数，容所以3整除p,可设p=3t,则q^2=3t^2,所以3整除q
因此p和q有公约数3,与p和q互质矛盾，所以根号3是无理数
方法二：设x=根号3，则有方程x^2=3
假设x^2=3有有理数解x=p/q(p、q为互质整数），根据牛顿有理根定理p整除3，q整除1,所以p=1或3,q=1，从而x=1或3，显然x=1或3不是方程x^2=3的根，矛盾。
方法三：设x=根号3=p/q,(p,q)=1,所以存在整数s,t使ps+qt=1
根号3=根号3*1=根号3(ps+qt)=(√**)s+(√3q)t=3qs+pt为整数，矛盾
14楼：匿名用户
^可设sqrt(3)=p/q;p,q互素且为正数。copy则p^bai2=3*q^2
所以可令
dup^2=3*k,k>=1且为正数。
则q^2=k；
但是zhiq,p互素，则q^2与p^2也互素，但由上所dao推可知，q^2与p^2有公因子k,矛盾，故sqrt(3)为无理数。
怎么求证根号3是无理数
15楼：匿名用户
反证法证明：假设√3是有理数，即√3=p/q，p>0，q>0且(p,q)=1（p,q互质）
所以专3=p/q，p=3q.
（1）若p为偶数，不妨设p=2k，k∈n*，则属有3q=4k.
因为4k是4的倍数，而3是奇数，故q为偶数，这与(p,q)=1矛盾。
（2）若p为奇数，设p=2k+1，k∈n*，则有3q=4k(k+1)+1
因为3|(3q)，所以k≡1(mod3)或k≡2(mod3)
①k≡1(mod3)时，设k=3m+1，m∈n，则有3q=9(2m+1).
因为p=6m+3，q=3(2m+1)，故3|p，3|q，这与(p,q)=1矛盾。
②k≡2(mod3)时，设k=3m+2，m∈n，则有3q=(6m+5)
所以3q是完全平方数，9|(6m+5)，故3|q
又p=2k+1=6m+3，故3|p，这与(p,q)=1矛盾。
综上，√3是无理数。
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