1楼：阿斯顿
二次型也称为“二次形式”，数域p上的 n元二次齐次多项式称为数域 p上的n元二次型。二次型是我们线性代数教材的后继内容，为了我们后面的学习，这里对于二次型的发展历史我们也作简单介绍。二次型的系统研究是从 18 世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。
将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在 18 世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次项的符号来进行分类。
然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了 个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅可比重新发现和证明。
1801 年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。
二次型化简的进一步研究涉及二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则是由阿歇特(j-n.
p.hachette) 、蒙日和泊松(s.d.
poisson,1781-1840) 建立的。
柯西在别人著作的基础上，着手研究化简变数的二次型问题，并证明了特征方程在直角坐标系的任何变换下不变性。后来，他又证明了 个变数的两个二次型能用同一个线性变换同时化成平方和。
1851 年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面的切触和相交时需要考虑这种二次曲线和二次曲面束的分类。在他的分类方法中他引进了初等因子和不变因子的概念，但他没有证明“不变因子组成两个二次型的不变量的完全集”这一结论。
1858 年，魏尔斯特拉斯对同时化两个二次型成平方和给出了一个一般的方法，并证明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特征根相等，这个化简也是可能的。魏尔斯特拉斯比较系统的完成了二次型的理论并将其推广到双线性型。
线性代数中二次型的应用领域和意义
2楼：
应用领域：线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容。随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域
意义：二次型应该说是处于一个比较重要的地位,利用二次型可以把任何一个方阵jordan标准化,对研究矩阵非常有用!线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。
在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。
现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。
尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（gnp）。
当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 gnp。这里，每个国家的 gnp 都在各自的位置上。
作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。
线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。
向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。
如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。
我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。
线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一！谢谢~
线性代数，实二次型的分类有哪些？
3楼：古代圣翼龍
对于实二次型f（x）=(
x^t)ax。
①如果对任何非零实向量x，都有f（x）＞0，则称f为正定二次型
②如果对任何非零实向量x，都有f（x）＜0，则称f为负定二次型
③如果对任何实向量x，都有f（x）≥0，则称f为半正定二次型
④如果对任何实向量x，都有f（x）≤0，则称f为半负定二次型
⑤如果存在实向量x1及x2，使f（x1）＞0，f（x2）＜0，则称f为不定二次型
（凡是正定二次型的，均是半正定的。凡是负定二次型的，均是半负定的）
（不定二次型既不是半正定的，也不是半负定的）
线性代数二次型？
4楼：匿名用户
有的二次型可以直接化为规范形，可省去化标准形的过程，比如f(x,y,z)=5x^2+2xy+y^2-4z^2，配方4x^2+(x+y)^2-4z^2。若令u=x,v=x+y,w=z，即x=u,y=u-v,z=w，则f=4u^2+v^2-4w^2，这是标准形。如果令u=2x,v=x+y,w=2z，则直接得规范形f=u^2+v^2-w^2。
由标准形知道正、负特征值的个数，即可直接写出规范形，至于标准形是用可逆的线性变换还是正交变换得到的，对特征值的正负有影响吗？
这个二次型的矩阵是对角矩阵，特征值为-2,3,4，两正一负，所以规范形即得
求线性代数的二次型
5楼：匿名用户
【分析】
二次型xtax必存在坐标变换x = cy 化其为标准形ytby。即实对称矩阵a必存在可逆矩阵c使其与对角矩阵b合同，亦即ctac=b。
如果选择正交变换，即c是正交矩阵，那么
b=ctac=c-1ac
说明在正交变换下，a不仅与b合同而且a与b相似，因此b就是a的特征值。
另一方面，在二次型ytby中，b就是标准形平方项的系数。
因此，二次型xtax经过正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵a的特征值。
我们得到一个结论：
因为ab相似，b的对角线元素就是a的特征值。
所以 b的对角线元素之和 等于a的对角线元素之和| a |就等于b的对角线元素之积
【解答】
二次型矩阵a为
2 0 0
0 3 a
0 a 3
标准形矩阵b为
1 0 0
0 2 0
0 0 5
|a|=2（9-a）=1×2×5 = 10 a= ±2因为a＞0，所以a=2
newmanhero 2015年2月5日16:29:58希望对你有所帮助，望采纳。
6楼：匿名用户
a=2是吧
首先，通过正交变换化成标准型，这个标准型的系数都是原来二次型所对应矩阵的特征值
也就是说，f（x1,x2,x3)对应着一个二次型矩阵a（这个矩阵a你应该会写吧），这个矩阵的特征值是1，2，5，如此，便会有|e-a|=0，|2e-a|=0，|5e-a|=0
如此便可求出a=2或-2，又因为题目写a>0，所以，a=2
线性代数里二次型的意义
7楼：小乐笑了
二次型，与解析几何中的二次曲面联系最为紧密。
通过线性代数中的二次型，以及矩阵刻画工具，可以很方便地讨论二次曲面分类，以及各种不变量。
线性代数，这个二次型能化为规范型吗？怎么化？
8楼：angela韩雪倩
任何二次型都可以化成规范型
只需要在标准型的基础上
再做非奇异变换
将平方项的系数变为1或-1就可以了
方法如下：
这题的变化如下：
扩展资料：
线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数。
非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。
线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。
这就是实数向量空间的第一个例子。
·每一个线性空间都有一个基。
·对一个n行n列的非零矩阵a，如果存在一个矩阵b使ab=ba=e（e是单位矩阵），则a为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），b为a的逆阵。
·矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。
·矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
·矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
·矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。
·解线性方程组的克拉默法则。
·判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。
9楼：匿名用户
1. 是的, 一般是先化为标准型
如果题目不指明用什么变换, 一般情况配方法比较简单若题目指明用正交变换, 就只能通过特征值特征向量了2. 已知标准形后, 平方项的系数的正负个数即正负惯性指数配方法得到的标准形, 系数不一定是特征值.
例题中平方项的系数 -2,3,4, 两正一负, 故正负惯性指数分别为2, 1
所以规范型中平方项的系数为 1,1,-1 (两正一负)
线性代数二次型
10楼：多元函数偏导
首先我不是很建议这种方法。这个叫做配方法，其实就是通过对式子结构的一些观察而变换的。这个方法有比较固定的套路：
存在单变量二次项，则利用单变量的二次项和混乘来先因式分解再凑项。如果全部是混乘，那么固定其中一个变量不变，其余变量写成平方差形式。有了这两个技巧一切二次型都可以配出来。
有些二次型带有平方项但是配到中途只有混乘了，同样可以采取刚才那个办法。这个记住就行，所有混乘都是这么写的
线性代数二次型,线性代数，实二次型和复二次型分别是什么？
1楼 todayshuaih缺 对于二次型的计算， 实际上并不是复杂的过程， 就是将平方项写在正对角线上， 而交叉相乘的项对半分开后分写在两侧 这里的平方项均为0， 故对角线为0 而16x1x2，2x1x3， 2x2x3则分为两个8，两个1，以及两个 1，写在对角线的两侧，所以得到矩阵表达式为 0 ...
关系线性代数二次型的问题,线性代数（二次型化为规范型问题）如何解决？
1楼 匿名用户 你好！是的，只要正负惯性指数相同，这样写出来的对称矩阵都是合同的。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！ 线性代数 二次型化为规范型问题 如何解决？ 2楼 墨汁诺 1 是的，一般是先化为标准型 如果题目不指明用什么变换 一般情况配方法比较简单 若题目指明用正交变换 就只能通过特征值...
线性代数为什么讲二次型,线性代数，为什么二次型的行列式符号可以去除，二次型到底是数还是矩阵？
1楼 匿名用户 因为二次型是两个矩阵相乘而得出的 之所以叫它线性代数是因为 它是由线性方程引出的 线性代数，为什么二次型的行列式符号可以去除，二次型到底是数还是矩阵？ 2楼 二次型是一个数，可以从矩阵乘法上推出来，x是一个n 1的向量，x 是1 n的向量，乘完以后是个1 1的矩阵，也就是一个数 线性...