1楼：97的阿文
欢迎和我一起讨论数学，一起进步！
2楼：_月影
为啥分成2个，化成下标从0开始的，直接不就等于答案了
幂级数求和问题
3楼：匿名用户
幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。
以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：
一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数s(x)
计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。
二、求通项为p(n)x^n的和函数，其中p(n)为n的多项式
解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。积分总是从收敛中心到x积分。
解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。
三、求通项为x^n/p(n)的和函数，其中p(n)为n的多项式
解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉s(0)的值。
解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。
四、含阶乘因子的幂级数
（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数式求其和函数。一般分母的阶乘为n!
的幂级数常用e^x的式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的式来求其和函数
（2）逐项求导、逐项积分法
（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解s(x)满足的微分方程的处之问题而求之。因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立s(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数
题中的类型为第二种类型
常用的全面的幂级数公式
4楼：匿名用户
公式如图：
扩展资料：
幂函数的性质：
一、当α为整数时，α的正负性和奇偶性决定了函数的单调性：
1、当α为正奇数时，图像在定义域为r内单调递增。
2、当α为正偶数时，图像在定义域为第二象限内单调递减，在第一象限内单调递增。
3、当α为负奇数时，图像在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域r内单调递减）。
4、当α为负偶数时，图像在第二象限上单调递增，在第一象限内单调递减。
二、当α为分数时，α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性：
1、当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增。
2、当α>0，分母为奇数时，若分子为偶数，函数在第一象限内单调递增，在第二象限单调递减；若分子为奇数，函数在第
一、三象限各象限内单调递增。
3、当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减。
4、当α<0，分母为奇数时，函数在第
一、三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域r内单调递减）。
三、当α>1时，幂函数图形下凹（竖抛）；当0<α<1时，幂函数图形上凸（横抛）。
5楼：淡了流年
1/(1-x)=∑x^n (-1
1、这是公比为q=x的等比级数求和公式的反过来应用，可以直接使用，没有必要写出具体过程， 如果一定要写，就写在下面，略有点麻烦，其中第步要用到收敛的等比级数的余项级数，仍然是等比级数和，这是中学知识
2、f(x)=1/(1-x)，f'(x)=1/(1-x)^2，f''(x)=2!/(1-x)^3，f'''(x)=3!/(1-x)^4，……， [f(x)](n阶导)=n!
/(1-x)^(n+1)， ②f(0)=1，f'(0)=1，f''(0)=2!，f‘''(0)=3。
6楼：底板
少打一个ln(1-x)，我手机打不出来，换个-x.最后-1，1左必右开，然后第四个那个，n＝1
幂级数求和 详细过程
7楼：巴山蜀水
^^^解：∑k^2q^(k-1)=∑k(q^k)'=(∑kq^k)'=[q∑kq^(k-1)]'=[q(∑q^k)']'='=[1+q-(n+1)^2q^n+(2n^2+2n-1)q^(n+1)+(n^2)q^(n+2)]/(1-q)^3。供参考。
幂级数求和函数的思路步骤是什么
8楼：匿名用户
常用函数成的幂级数，如e的x次方，1/1+x，sinx，cosx等，将要求的幂级数向熟悉的几个形式转换，一般答案是几个常用和函数的变形或组合。（注意n从几开始取值，少了哪几项，巧妙变换n的初始值，运用等比数列的求和公式等等）。
x^2n/2^n=(x/2)^n，令x/2=t，级数求和来就变为σt^n=1/(1-t)，再代回x，就得出图中结果。
这两个级数都用到一个公式：σx^n=1/(1-x)，这里n是从0开始，到∞；当指数为n-1的时候，
n就从1开始。
9楼：良田围
1、先算出收敛域。
2、根据系数，绝对先积分还是先求导：
如果系数与x的各次幂是乘积的形式，就先积分；
如果系数与x的各次幂是相除的形式，就先求导。
3、无论先积分，还是先求导，如果还有系数，继续上面的方法。
重复2的方法，直到系数统统消失。
4、此时的级数变为无穷等比级数，在收敛域内反向运用求和公式：
s=a1/(1-r)，a1是首项，r是公比。
5、将2的方法反向运用，也就是按照前面的或求导、或积分的次序，逐步逐步反向或积分、或求导。最后得到结果。
特别注意的是：
1、积分后求导，只要从0积分到x，然后求导，就不会出现常数误差；
2、求导后积分，就会出现常数差的问题，要特别注意积分限的确定。
另外的特例就是：
1、用简单的求和符号运算就能得到结果，一般不会超出等差、等比数列的范围；
2、就是利用特殊的已知的级数，套用即可。如果没有这些知识，用上面的5点也够了。
总而言之，多解题才有悟性。
10楼：一只纳瓦霍狗
熟悉几个常用函数展开成的幂级数，如e的x次方，1/1+x，sinx，cosx等，将要求的幂级数向熟悉的几个形式转换，一般答案是几个常用和函数的变形或组合。（注意n从几开始取值，少了哪几项，巧妙变换n的初始值，运用等比数列的求和公式等等）。思路步骤大概是这样，求和函数比较难，要多做题才能自己有所体会。
幂级数求和函数
11楼：巴山蜀水
^^解：设s(x)=∑x^n，n=1,2，……，∞。当丨x丨<1时，s(x)=x/(1-x)。
由s(x)对x求导，s'(x)=∑nx^(n-1)=1/(1-x)。∴xs'(x)=∑nx^n=x/(1-x)。再对x求导，
∴[xs'(x)]'=∑nx^(n-1)=(1+x)/(1-x)。∴∑nx^n=x(1+x)/(1-x)，其中，丨x丨<1。
令x=1/2，∴∑n/2^n=x(1+x)/(1-x)丨(x=1/2)=6。
供参考。
幂级数式，还有求和 100
12楼：匿名用户
|，|利用已知式
1/(1-x)= ∑(n≥0)x，|x|<1，可得1/(2-x) = (1/2)/(1-x/2)= (1/2)*∑(n≥0)(x/2)，|x|<2，求导，得
1/(2-x) = …
= (1/2)*∑(n≥1)(n+1)(x/2)，|x|<2。
幂级数求和问题，求其详细运算过程。
13楼：等待的幸福快乐
视问题而定,并不是所有的幂级数都能求出和的!
一般的幂级数求和都是对幂级数积分或求导或乘除x,得到一个可以求和的级数,求出和函数后再还原出原幂级数的和函数!
有些幂级数要用到泰勒级数或傅立叶级数的某些结论,甚至有些要用到复变函数的结论,虽然如此,仍然有很多幂级数的和函数是求不出来的!
例如：1 ）f(x)= ∑（-1）^(n-1) x^(2n-1)/(2n-1)
f'(x)=∑（-1）^(n-1) x^(2n-2)=1/(1+x^2)
f(0)=0
积分得 f(x)=f（0）+ ∫【0到x】dt/(1+t^2) =arctanx
2)f(x)= ∑n(n+1)x^(n-1)
积分两次得 ∑x^(n+1)=x^2/(1-x)=
再求导两次即可得f(x)=2/(1-x)^3
原式=2x/(1-x)^3
3)求导得 ∑(x+1)^(n-1)/2^n=(1/2)∑[(x+1)/2]^(n-1)=(1/2)/[1-(x+1)/2]=1/(1-x)
f=-ln(1-x)+c
f(-1)=0 c=ln2
f=ln2-ln(1-x)
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