1楼:匿名用户
当然,秒不是时间的最小单位。可是如果s(t))=10t^2是成本关于产品个数的函数,那么其导数,也就是边际成本就为v(t)=20t,描述的是成本关于产品个数的变化量,这时候产品个数的单位就是自然数,不能无限小地分。
边际成本里面是不能求导的,因为它是对1 微分,求导得到的结果只能近似正确。所以只能用做差法。就是楼主问题补充里面的 [s(n)-s(n-1)]/(1);
这根导数的定义是一致的,只不过导数要求取极限而已。
总结起来,实际问题中,不连续的变量,比如f(n), 它在某点变化快慢,就用
[f(n)-f(n-1)]/[n-(n-1)]去算,表示自变量每变化1,因变量的变化。如边际量等。而求导某些特殊情况下会得到近似地结果(一次,二次函数等,复杂的就不行了)
2楼:匿名用户
根据v(t)=20t可以看出来 是个匀加速运动的速度方程,
t=4只能说明他在此时的瞬时速度是80 而t=5时的瞬时速度是100 这之间物体是匀变速运动 不是匀速运动 匀速的时候增加的距离是80 而匀变速距离 肯定要多的 因为他的速度在增加
数学中导数的实质是什么?有什么实际意义和作用?
3楼:暴走少女
1、导数的实质:
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
2、几何意义:
函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:表示函数曲线在点p0(x0,f(x0))处的切线的斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
3、作用:
导数与物理,几何,代数关系密切:在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
导数亦名纪数、微商(微分中的概念),是由速度变化问题和曲线的切线问题(矢量速度的方向)而抽象出来的数学概念,又称变化率。
扩展资料:
一、导数的计算
计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中,大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数,那么根据导数的求导法则,就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
二、导数与函数的性质
1、单调性
(1)若导数大于零,则单调递增;若导数小于零,则单调递减;导数等于零为函数驻点,不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
(2)若已知函数为递增函数,则导数大于等于零;若已知函数为递减函数,则导数小于等于零。
2、凹凸性
可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增,那么这个区间上函数是向下凹的,反之则是向上凸的。
如果二阶导函数存在,也可以用它的正负性判断,如果在某个区间上恒大于零,则这个区间上函数是向下凹的,反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。
4楼:匿名用户
数学中导数的实质是瞬间变化率,在函数曲线中表示在某点切线的斜率,在物理位移时间关系中表示瞬时速度,在速度时间关系中表示瞬时加速度,在经济中可以表示边际成本。
导数(derivative)是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量δx时,函数输出值的增量δy与自变量增量δx的比值在δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df/dx(x0)。
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话,函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中,物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
5楼:濂溪之子
导数(derivative)是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则**于极限的四则运算法则。
亦名纪数、微商,由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念。又称变化率。
如一辆汽车在10小时内走了 600千米,它的平均速度是60千米/小时,但在实际行驶过程中,是有快慢变化的,不都是60千米/小时。为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况,可以缩短时间间隔,设汽车所在位置s与时间t的关系为s=f(t),那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0],当 t1与t0很接近时,汽车行驶的快慢变化就不会很大,平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况 ,自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度,这就是通常所说的速度。一般地,假设一元函数 y=f(x )在 x0点的附近(x0-a ,x0 +a)内有定义,当自变量的增量δx= x-x0→0时函数增量 δy=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的导数(或变化率)。
若函数f在区间i 的每一点都可导,便得到一个以i为定义域的新函数,记作 f',称之为f的导函数,简称为导数。函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义:表示曲线l 在p0〔x0,f(x0)〕 点的切线斜率。
一般地,我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则:设y=f(x )在(a,b)内可导。如果在(a,b)内,f'(x)>0,则f(x)在这个区间是单调增加的。。
如果在(a,b)内,f'(x)<0,则f(x)在这个区间是单调减小的。所以,当f'(x)=0时,y=f(x )有极大值或极小值,极大值中最大者是最大值,极小值中最小者是最小值。
导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
(1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:
1 求函数的增量δy=f(x0+δx)-f(x0)
2 求平均变化率
3 取极限,得导数。
(2)几种常见函数的导数公式:
1 c'=0(c为常数函数);
2 (x^n)'= nx^(n-1) (n∈q);
3 (sinx)' = cosx;
4 (cosx)' = - sinx;
5 (e^x)' = e^x;
6 (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数)
7 (inx)' = 1/x(ln为自然对数)
8 (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1)
补充一下。上面的公式是不可以代常数进去的,只能代函数,新学导数的人往往忽略这一点,造成歧义,要多加注意。
(3)导数的四则运算法则:
1(u±v)'=u'±v'
2(uv)'=u'v+uv'
3(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2
(4)复合函数的导数
复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献!
导数的应用
1.函数的单调性
(1)利用导数的符号判断函数的增减性
利用导数的符号判断函数的增减性,这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用,它充分体现了数形结合的思想.
一般地,在某个区间(a,b)内,如果>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
如果在某个区间内恒有=0,则f(x)是常函数.
注意:在某个区间内,>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件,如f(x)=x3在内是增函数,但.
(2)求函数单调区间的步骤
1确定f(x)的定义域;
2求导数;
3由(或)解出相应的x的范围.当f'(x)>0时,f(x)在相应区间上是增函数;当f'(x)<0时,f(x)在相应区间上是减函数.
2.函数的极值
(1)函数的极值的判定
1如果在两侧符号相同,则不是f(x)的极值点;
2如果在附近的左侧,右侧,那么,是极大值或极小值.
3.求函数极值的步骤
1确定函数的定义域;
2求导数;
3在定义域内求出所有的驻点,即求方程及的所有实根;
4检查在驻点左右的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
4.函数的最值
(1)如果f(x)在〔a,b〕上的最大值(或最小值)是在(a,b)内一点处取得的,显然这个最大值(或最小值)同时是个极大值(或极小值),它是f(x)在(a,b)内所有的极大值(或极小值)中最大的(或最小的),但是最值也可能在〔a,b〕的端点a或b处取得,极值与最值是两个不同的概念.
(2)求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤
1求f(x)在(a,b)内的极值;
2将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
5.生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题称为优化问题,优化问题也称为最值问题.解决这些问题具有非常现实的意义.这些问题通常可以转化为数学中的函数问题,进而转化为求函数的最大(小)值问题.
6楼:匿名用户
说的直接一点,就是函数图像上的一点的斜率值....其实我觉得真的该多看看教材,教材上很明白的,如果是理科生,就从极限那一章看起走;如果是文科生,现在可以先暂时不管,高考完的时候再看,可能会好些,因为大学里面的高数会用到,而且很频繁.
至于意义嘛,你上了大学就知道了,应该说,在你周围的方方面面都有它的存在..
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