1楼：匿名用户
从概念上讲，第一类的，都是和方向无关的，对标量的积分。第二类的，都是和方向有关的，对某种意义上的矢量的积分。具体地说：
第一类曲线积分是对长度的积分，第二类曲线积分是对坐标的积分，讲究曲线上演某方向的变化了。第一类区面积分，是对面积的积分，第二类区面积分是对二维坐标的积分，强调面积朝向某侧的情况。
从计算上讲，第一类的计算要求出长度或者面积微元的表示式，因此计算公式似乎复杂，但是记住公式之后，因为不用考虑方向，因此实际上简单。第二类的，不用考虑微元的表示式，直接就是对坐标积分，形式上简单，不过，在具体到某个线或者面的时候，要考虑是否要根据方向的变化分成不同的小段，在每个方向一致的小段上，还要考虑正负号，是否为零等等，实际上相对麻烦许多。
关于这两类积分（实际上是四类，不过我的称呼是分别针对面，线来说）实际上都有统一的公式。两类曲线积分可以通过方向余弦实现统一。两类区面积分可以通过切面的法向量方向余弦实现统一。
此处的学习重点除了上述内容之外，要特别注意 格林公式，高斯公式，斯托克斯公式，拉普拉斯算子，拉普拉斯反算子。这些在某些专业中应用更广泛。
求详细介绍关于高数第一类第二类曲线曲面积分 对称性 以及轮换对称性谢谢大家了！
2楼：你爱的是小灰吗
1、第一型曲面积分：又称对面积的曲面积分
定义在曲面上的函数关于该曲面的积分。第一型曲线积分物理意义**于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。
2、第二型曲面积分是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。
第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧。
必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。
3、数学上，对称性由群论来表述。群分别对应着伽利略群，洛伦兹群和u(1)群。对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性和分立对称性。
德国数学家威尔(hermann weyl)是把这套数学方法运用於物理学中并意识到规范对称重要性的第一人。
4、积分轮换对称性是指坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。
扩展资料：
1、对称操作：
当分子有对称中心时，从分子中任意一原子至对称中心连一直线，将次线延长，必可在和对称中心等距离的另一侧找到另一相同原子，即每一点都关于中心对称。依据对称中心进行的对称操作为反演操作，是按照对称中心反演，记为i；n为偶数时in=e，n为奇数时in=i
反轴：反轴in的基本操作为绕轴转360°/n，接着按轴上的中心点进行反演，它是c1n和i相继进行的联合操作：i1n=ic1n； 绕in轴转360°/n，接着按中心反演。
映轴：映轴sn的基本操作为绕轴转360°/n，接着按垂直于轴的平面进行反映，是c1n和σ相继进行的联合操作： s1n=σc1n；绕sn轴转360°/n，接着按垂直于轴的平面反映。
2、第一型曲面积分和第二型曲面积分的区别
1、第一类没方向,有几何意义和物理意义；第二类有方向,只有物理意义。
2、一类曲线是对曲线的长度,二类是对x,y坐标.例已知一根线的线密度,求线的质量,就要用一类.已知路径曲线方程,告诉你x,y两个方向的力,求功,就用二类.
二类曲线也可以把x,y分开,一二类曲线积分之间就差一个余弦比例。
一二类曲面积分区别，一类是对面积的积分,二类是对坐标的.如已知面密度,求面质量,就用一类.已知x,y,z分别方向上的流速和面方程,求流量,就用第二类.
同理,x,y,z方向也是可以分开的。
3楼：匿名用户
你好！答案如图所示：
这里先要注意一点：
第一类 曲线/曲面 积分 具有 偶倍奇零 性质第二类 曲线/曲面 积分 具有 偶零奇倍 性质所以这两类的 奇偶性 是相反的，因为第二类积分涉及方向性的问题第一类曲线积分：
第二类曲线积分：
第一类曲面积分：
第二类曲面积分
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学习高等数学最重要是持之以恒，其实无论哪种科目都是的，除了多书里的例题外，平时还要多亲自动手做练习，每种类型和每种难度的题目都挑战一番，不会做的也不用气馁，多些向别人请教，从别人那里学到的知识就是自己的了，然后再加以自己钻研的话一定会有不错的效果。所以累积经验是很重要的，最好的方法就是常来帮别人解答题目，增加历练和做题经验了！
4楼：夏娃的夏天
1、第一型曲面积分：
定义在曲面上的函数关于该曲面的积分。第一型曲线积分物理意义**于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。
又称：对面积的曲面积分；
物理意义：空间曲面s的“质量”。
2、第二型曲面积分：
第二型曲面积分：是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。
第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关。
如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧，必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。
3、对称性：
数学上，对称性由群论来表述。
群分别对应着伽利略群，洛伦兹群和u(1)群。对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性（continuous symmetry）和分立对称性(discrete symmetry)。
德国数学家威尔(hermann weyl)是把这套数学方法运用於物理学中并意识到规范对称重要性的第一人。
当分子有对称中心时，从分子中任意一原子至对称中心连一直线，将次线延长，必可在和对称中心等距离的另一侧找到另一相同原子，即每一点都关于中心对称。
依据对称中心进行的对称操作为反演操作，是按照对称中心反演，记为i；n为偶数时in=e，n为奇数时in=i。
4、积分轮换对称性：
它是指坐标的轮换对称性，简单的说就是将坐标轴重新命名，如果积分区间的函数表达不变，则被积函数中的x,y,z也同样作变化后，积分值保持不变。
扩展资料：
曲面积分：
定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。
第一型曲面积分物理意义**于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义**对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。
第二型曲面积分的物理背景是流量的计算问题。设某流体的流速为v=((p(x，y，z)，q(x，y，z)，r(x，y，z))从某双侧曲面s的一侧流向另一侧，求单位时间内流经该曲面的流量。
由于是有向曲面，设它的单位法向量为n=(coα，cosβ，cosγ)，取曲面面积微元ds，则所求的单位时间内流量微元就是de=(v·n)ds。
镜面对称：
镜面是平分分子的平面，在分子中除位于经面上的原子外，其他成对地排在镜面两侧，它们通过反映操作可以复原。
反映操作是每一点都关于镜面对称，记为σ；n为偶数时σn=e，n为奇数时σn=σ。和主轴垂直的镜面以σh表示；通过主轴的镜面以σv表示；通过主轴，平分副轴夹角的镜面以σd 表示。
积分轮换对称性特点及规律：
(1) 对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0，也就是积分曲面的方程没有变。
那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)ds=∫∫f(y,z,x)ds；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)ds=∫∫f(y,x,z)ds；
如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在这个曲面上的积分 ∫∫f(x,y,z)ds=∫∫f(z,x,y)ds ，同样可以进行多种其它的变换。
(2) 对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可 ，比如：
如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积分：
∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx, ∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。
(3) 将(1)中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)= 0，那么在这个曲线上的积分 ∫f(x,y)ds=∫f(y,x)ds；
实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称 。第二类三维空间的曲线积分跟（2）总结相同同。
但第二类平面上的曲线积分不同∫f(x,y)dx=-∫f(y,x)dy.(注意前面多了一个负号）
(4)二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分区间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。
第一类曲面积分和第二类曲面积分的区别
5楼：miss雪域的情郎
第一类曲面积分和第二类曲面积分的区别如下：
1、积分对象不同
第一型曲面积分物理意义**于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。；
第二型曲面积分物理意义**对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量；
2、积分顺序不同
第一类曲线积分——有积分顺序，积分下限永远小于上限；
第二类曲线积分——没有积分顺序，积分上下限可以颠倒；
3、积分意义不同
第一类曲线积分——有几何意义和物理意义；
第二类曲线积分——只有物理意义；
4、积分方向不同
第一类曲线积分——积分没有方向；
第二类曲线积分——有积分方向；
数学分析，曲线积分,数学分析 第一类曲线积分
1楼 匿名用户 b 只有一个解释，就是积分与路径无关 详细答案在 上，希望得到采纳，谢谢 数学分析。 曲线积分。 2楼 匿名用户 1 斯托克斯公式化为曲面积分 方向余弦化为二重积分 对称性化简 过程如下 2 化为参数方程 利用对称性 过程如下 3 格林公式 过程如下 数学分析 第一类曲线积分 3楼 ...
有关高等数学曲线积分的物理意义,高等数学，曲线积分，第一题看不懂啊
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