函数奇偶性的意义,函数的奇偶性其实有什么意义呢?

2020-11-26 06:21:33 字数 5644 阅读 8906

1楼:漫天花落观弈

主要是图象对称性的体现:奇函数关于原点对称,偶函数关于y轴对称

2楼:匿名用户

1.定义域要关于原点对称;2.若对定义域内的每一个x,都有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数,若对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数

函数的奇偶性其实有什么意义呢?

3楼:匿名用户

函授奇偶性主要是看函数图像,分别关于原点和y轴对称,然后通过对称的特点去,给出某些点,从而求其他的未知的点。函数的意义通常是从函数的图像上去理解的。比如有个点(1,1)如果在奇函数上,那么可以判断(-1,-1)也在这个函数上,因为关于原点是对称的,如果是在偶函数上,那么(-1,1)也在偶函数上。

我们研究函数的奇偶性的意义究竟何在?

4楼:匿名用户

画图,求值域,求单调性......毕竟是常用性质中的一个吗

函数的奇偶性的含义和表达式

5楼:11风雨豪情

本质含义有很多但是重点还是要做题,我给你几点做题的方法,你看看,我就是这样做题的,很简单,一般不会出错的!

判断函数的

条件:1、首先看他的定义域是不是关于原点对称的,不是就谈不上奇偶性。

2、如果f(x)+f(-x)=0符合这个条件的就是奇函数;如果f(x)-f(-x)=0符合这个条件的就是偶函数。

6楼:匿名用户

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性,即已知是奇函数,它在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上也是增函数(减函数);偶函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性,即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上是减函数(增函数)。

偶函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)称为偶函数。

奇函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)称为奇函数。

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴成轴对称图形

函数奇偶性的特征

7楼:匿名用户

定义一般地,对于函数f(x)

⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(-x)或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x)就叫做偶函数。关于y轴对称,f(-x)=f(x)。

⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x)或f(x)/f(-x)=-1,那么函数f(x)就叫做奇函数。关于原点对称,-f(x)=f(-x)。

⑶如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(-x)和f(-x)=-f(x),(x∈r,且r关于原点对称.)那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。

⑷如果对于函数定义域内的存在一个a,使得f(a)≠f(-a),存在一个b,使得f(-b)≠-f(b),那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。

定义域互为相反数,定义域必须关于原点对称

特殊的,f(x)=0既是奇函数,又是偶函数。

说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言。

②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不具有奇偶性。

(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义,则这个函数在x=0处的函数值一定为0。并且关于原点对称。

⑤如果函数定义域不关于原点对称或不符合奇函数、偶函数的条件则叫做非奇非偶函数。例如f(x)=x【-∞,-2】或【0,+∞】(定义域不关于原点对称)

⑥如果函数既符合奇函数又符合偶函数,则叫做既奇又偶函数。例如f(x)=0

注:任意常函数(定义域关于原点对称)均为偶函数,只有f(x)=0是既奇又偶函数

特征概述

偶函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)称为偶函数。

奇函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)称为奇函数。

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

点(x,y)→(-x,-y)

奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。

奇函数定理 奇函数[1]图象关于原点成中心对称图形

f(x)为奇函数<=>f(x)的图象关于原点对称,如图:

奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。

点(x,y)→(-x,-y)

奇函数图像关于原点对称

偶函数定理 偶函数[2]的图象关于y轴成轴对称图形

f(x)为偶函数<=>f(x)的图象关于y轴对称,如图

点(x,y)→(-x,y)

偶函数在某一区间上单调递减,则在它的对称区间上单调递增。

偶函数关于y轴对称

证明方法

1、利用奇偶函数的定义来判断(这是最基本,最常用的方法)定义:如果对于函数y=f(x)的定义域a内的任意一个值x,都有f(-x)=-f(x)则这个函数叫做奇函数f(-x)=f(x),则这个函数叫做偶函数

2、用求和(差)法判断:

若f(x)+f(-x)=〔f(x)-f(-x)=2f(x),则f(x)为奇函数。

若f(x)-f(-x)=〔f(x)+f(-x)=2f(x),则f(x)为偶函数。

3、用求商法判断

若f(-x)/f(x) =-1,(f(x)≠0)则f(x)为奇函数

若f(-x)/f(x)=1,(f(x)≠0)则f(x)为偶函数

性质1、大部分偶函数没有反函数(因为大部分偶函数在整个定义域内非单调函数)。

2、偶函数在定义域内关于y轴对称的两个区间上单调性相反,奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。

3、奇±奇=奇(可能为既奇又偶函数) 偶±偶=偶(可能为既奇又偶函数) 奇x奇=偶 偶x偶=偶 奇x偶=奇(两函数定义域要关于原点对称).

4、对于f(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函数且f(x)是偶函数,则f[x]是偶函数.

若g(x)奇函数且f(x)是奇函数,则f(x)是奇函数.

若g(x)奇函数且f(x)是偶函数,则f(x)是偶函数.

5、奇函数与偶函数的定义域必须关于原点对称.

要点诠释

[1]奇偶性是整体性质;

[2]x在定义域中,那么-x在定义域中吗?----具有奇偶性的函数,其定义域必定是关于原点对称的;

[3]f(-x)=f(x)的等价形式为:f(x)-f(-x)=0,

(f(x)≠0)

f(-x)=-f(x)的等价形式为:f(x)+f(-x)=0;

(f(x)≠0)

[4]由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义,则必有f(0)=0;

[5]既是奇函数,又是偶函数的函数有无数个,只要f(x)=0,且定义域关于原点对称即可

常用结论

(1)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性

偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性

(2)若f(x+a)为奇函数,则f(x)的图像关于点(a,0)对称

若f(x+a)为偶函数,则f(x)的图像关于直线x=a对称

(3)在f(x),g(x)的公共定义域上:奇函数±奇函数=奇函数

偶函数±偶函数=偶函数

奇函数×奇函数=偶函数

偶函数×偶函数=偶函数

奇函数×偶函数=奇函数

8楼:张咲帅

1.对于奇函数f(x)有

(1)函数图像关于原点对称;

(2)在关于原点对称的区间上单调性相同;

(3)若在x=0处有定义,则有f(0)=0;(4)f(-x)=-f(x)。

2.对于偶函数f(x)有

(1)函数图像关于y轴对称;

(2)在关于原点对称的区间上单调性相反;

(3)f(-x)=f(x)=f(|x|)=f(-|x|)=f(|-x|)=f(-|-x|)。

3.对于同一定义域上的两个奇(偶)函数有

(1)两个奇函数的和或差为奇函数;

(2)两个偶函数的和或差为偶函数;

(3)两个奇函数的积为偶函数;

(4)两个偶函数的积为偶函数;

(5)一个奇函数和一个偶函数的积为奇函数。

9楼:妙妙°鬯鶣

偶函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)称为偶函数。

奇函数:若对于定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)称为奇函数。

定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。

f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称点(x,y)→(-x,-y)

奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。

偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。 定理 奇函数的图象关于原点成中心对称图形

f(x)为奇函数<=>f(x)的图象关于原点对称,如图:

奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。

点(x,y)→(-x,-y)

奇函数图像关于原点对称 定理 偶函数的图象关于y轴成轴对称图形f(x)为偶函数<=>f(x)的图象关于y轴对称,如图点(x,y)→(-x,y)

偶函数在某一区间上单调递减,则在它的对称区间上单调递增。

偶函数关于y轴对称

标题 函数的奇偶性定义中的二层含义是什么?

10楼:文君复书

函数的奇偶性定义中

(1)定义域关于原点对称

(2)f(x)=f(-x)偶

f(x)=-f(-x)奇函数

就是函数图像要关于原点或者y轴对称

函数的奇偶性是什么?

11楼:匿名用户

你好函授奇偶性主要是看函数图像,分别关于原点和y轴对称,然后通过对称的特点去,给出某些点,从而求其他的未知的点。

函数的意义通常是从函数的图像上去理解的。

比如有个点(1,1)如果在奇函数上,那么可以判断(-1,-1)也在这个函数上,因为关于原点是对称的,如果是在偶函数上,那么(-1,1)也在偶函数上。

满意请采纳

12楼:匿名用户

简单说奇偶性就是函数的对称性。 如果关于y轴对称,就称为偶函数,f(x)=f(-x)

如果关于原点对称就是奇函数。f(x)=-f(-x)

书上应该有具体的定义吧

13楼:灿灿

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性,即已知是奇函数,它在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上也是增函数(减函数);偶函数在其对称区间[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性,即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数(减函数),则在区间[-b,-a]上是减函数(增函数)。但由单调性不能倒推其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。

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1楼 匿名用户 你把它转换成lg 1 x 1 x 就很明白了 用 x代替x,y y,为奇函数 2楼 吴敏和 判断一个函数f x 的奇偶性首先应该看它的定义域是否关于原点对称,是的话再看f x 与f x 的关系,若f x f x 则为偶函数,若f x f x 则为奇函数,都不等则为非奇非偶函数,前提是...

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