1楼：中地数媒
一、弹性力学平面问题的基本方程
真实的弹性体都是空间物体，但当其形状和受力情况具有某些特点时，在数学上可按平面问题处理。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题，两种平面问题的基本未知量、平衡微分方程、几何方程是相同的。
1.平衡微分方程
如不计体力，弹性力学平面问题的平衡微分方程如式（2-1）所示：
岩石断裂与损伤
式中：σx、σy、τxy分别为正应力和切应力分量。
2.几何方程
设平面内一点在x、y方向的位移分量为u、v；应变分量为εx、εy、γxy。则应变与位移的关系即几何方程，如式（2-2）所示：
岩石断裂与损伤
3.物理方程（本构方程）
平面应力问题和平面应变问题的物理方程（或称为本构方程）不同，对于平面应力问题，在弹性范围内，应力与应变关系如式（2-3）所示：
岩石断裂与损伤
式中：e为材料的弹性模量；μ为泊松比；g为剪切弹性模量。对于平面应变问题，应将上式中的e、μ进行如下代换：
岩石断裂与损伤
为求解上述方程，可采用位移法或应力法。将应力作为基本未知量求解弹性力学问题的方法称为应力法。
二、airy应力函数法
众多学者研究过弹性力学问题的解。1863年，airy给出一种解为
岩石断裂与损伤
将式（24）代入式（21），不难验证它满足平衡微分方程。式（24）中ψ（x，y）称为airy应力函数。为使应力函数ψ（x，y）满足其他方程，ψ（x，y）还必须满足变形协调条件：
岩石断裂与损伤
即ψ（x，y）为双调和函数，如果找到应力函数，通过应力边界条件确定应力分量中的待定常数，然后由物理方程求应变分量，再由几何方程求位移分量。
三、westergaard应力函数法
1939年，h.m.westergaard在《bearing pressures and cracks》中提出下列复变应力函数：
岩石断裂与损伤
式中：分别是解析函数z=z（z）的一次积分和二次积分，即
岩石断裂与损伤
显然，也是解析函数。式中：z=x+iy，其中x、y都是实变数，表示单元体的位置坐标。为了以后应用的方便，下面简要介绍一下有关复变函数的一些性质。
如z=x+iy是一个复变数，则z（z）=rez（z）+iimz（z）为复变函数。若z（z）为解析函数，即复变函数z（z）在某区域上处处可导。则必须满足柯西-黎曼条件（cauchy-riemann）：
岩石断裂与损伤
可以证明：
（1）如z（z）为解析函数，则：▽2rez=0，▽2imz=0。
即：任何复变解析函数及其实部与虚部都满足调和方程，它们都是调和函数。
（2）z（z）可导，则有
岩石断裂与损伤
（3）如z（z）为解析函数，则
岩石断裂与损伤
岩石断裂与损伤
根据复变函数的性质，可以证明式（2 6）所示的ψ是否可以作为应力函数，即证明ψ是否满足双调和方程：
岩石断裂与损伤
因为z为调和函数，故
岩石断裂与损伤
因为z为调和函数，
岩石断裂与损伤
故ψ可作为应力函数。相应的应力分量为
岩石断裂与损伤
将式（2-7）代入式（2-3）得
岩石断裂与损伤
故岩石断裂与损伤
同理可得y方向的位移分量v。位移分量u、v为
岩石断裂与损伤
利用应力法求解弹性力学平面问题，需要以什么为基本未知数
2楼：ip情敌
从而得出所设定的应力函数可以
解决什么样的问题。
半逆解法：根据所要求的问题，根据弹性体的边界形状和受力状态，假设部分或者全部的应力分
量的函数形式，如果能全部满足，从而得出应力函数，然后再考察这个应力函数能否满足相容方程及应力
边界条件逆解法：先设定各种形式的 满足相容方程的应力函数，这些应力分量对应什么样的应力 ，求出应力分量，然后根据边界条件来考察
在各种弹性体上，则假定的应力函数为
错误的，重新选取应力函数，就能得出正确答案，如果不能满足
弹性力学：平面问题中应力函数φ须满足什么条件？
3楼：匿名用户
应力函数φ应满足相容方程（变形协调方程），由φ求出的应力分量在边界上还应当满足应力边界条件。在求解位移时，多连体要额外考虑位移单值条件。
弹性力学的常用的数学方法
4楼：2e█重量
可分分成两类：
①精确解法 包括分离变量法和弹性力学的复变函数方法。弹性力学中的许多精确解是用分离变量法求得的。其步骤大致如下：
根据物体的形状，选择一种合适的曲线坐标系，并写出相应于该坐标系的弹性力学微分方程和边界条件，如果微分方程中的变量能够分离，通常便可求得问题的解。能用分离变量法求得精确解的问题有：无限和半无限体的问题，球体和球壳的问题，椭球腔的问题，圆柱和圆盘的问题等。
对于能化为平面调和函数或平面双调和函数的问题，复变函数方法是一个有效的求解工具《柱体的扭转和弯曲问题、平面应变和平面应力问题以及薄板弯曲问题中的许多重要精确解都是用复变函数法求得的。
②近似解法 为求解一些复杂的问题，在弹性力学中还发展了许多近似解法，能量法就是其中用得最多的一类方法，它把弹性力学问题化为数学中的变分问题（泛函的极值和驻值问题），然后再用瑞利-里兹法求近似解。能量法的内容很丰富，适应性很强。工程界当前广泛使用的有限元法是能量法的一种新发展。
差分法也是一种常用的近似解法，其要点是用差商近似地代替微商，从而把原有的微分方程近似地化为代数方程。此外，边界积分方程、边界元法和加权残数法对解决某些问题也是有效的手段。
数学弹性力学的典型问题 有以下几类：
①一般性理论 它**解的共性和一般性的求解方法。一般性理论中，最核心的部分是能量原理（定理），包括虚功原理（虚位移原理、虚应力原理）、功的互等定理、最小势能原理、最小余能原理、赫林格-瑞斯纳二类变量广义变分原理和胡海昌-鹫津久一郎三类变量广义变分原理等。解的存在性、唯一性、解析性、平均值定理以及近似解的收敛性等，也都和能量原理有密切联系。
这些一般性理论，是建立各种近似解法和建立工程结构实用理论的依据。
一般性理论的另一重要方面是未知函数的归并理论，其主要内容是将弹性力学问题归为求解少数几个函数，这些函数常称为应力函数和位移函数。
②柱体扭转和弯曲 一个侧面不受外力的细长柱体，在两端面上的外力作用下会产生扭转和弯曲。根据圣维南原理，柱体中间部分的应力状态只与作用在端面上载荷的合力和合力矩有关，而与载荷的具体分布无关。因此，柱体中间部分的应力有以下的表达式：
这里的x、y轴为横截面的两个主轴；z轴平行于柱体的母线；为应力分量，a为横截面的面积；ix和iy为横截面对x轴和y轴的惯性矩（见截面的几何性质）；n、mx和my分别为作用在截面上的轴向合力、对x轴和y轴的弯矩。弯矩mx、my是坐标z的线性函数，可用材料力学的方法求得。式（11）给出的与材料力学的解相同，但给出的剪应力比材料力学的结果精确。
决定的问题最后可归为求解一个平面调和函数的边值问题。
③平面问题 平面问题是弹性力学中发展得比较成熟，应用得比较广的一类问题。平面问题可分为平面应力问题和平面应变问题。两者的应用对象不同，但都可归为相同的数学问题——平面双调和函数的边值问题.
平面应力问题适用于薄板。若在薄板的两个表面上无外力，而在侧面上有沿厚度均匀分布的载荷（图1），则薄板中的位移和应力有如下特点：
且以及x、y方向的位移u、v都与坐标z无关。对于各向同性材料，上述五个不等于零的量可以用一个应力函数φ（x，y）（艾里应力函数）表示为：
而应力函数φ是一个平面双调和函数，即
平面应变问题适用于长柱体的中间部分。若柱体的两端面固定不动，而作用在侧面上的载荷和坐标z无关，且合力及合力矩等于零（图2），则柱体中间部分的应力和位移有如下特点：
纵向位移ω=0，且、u、v与坐标z无关。对于各向同性的材料，上述五个不等于零的量也可用一个双调和函数φ表示为公式（13），不过须将其中的e和v分别代以
④变截面轴扭转变截面轴受扭时，在截面的过渡区（图3）常有应力集中现象。分析这类问题以取圆柱坐标系（r，θ，z）为方便。在圆柱坐标系中的位移分量和应力分量分别记为u、v、w和
这类问题的力学特点是： u=w=0和
v、和与坐标z无关。上述不等于零的两个剪应力和可用一个应力函数（r，z）表示为：
而满足下列偏微分方程：
这类问题最后归为方程（15）的边值问题。
⑤回转体的轴对称变形各向同性的回转体在轴对称载荷作用下，必然产生轴对称的变形。在圆柱坐标系（r，θ，z）中，轴对称变形的特点是：v=0，=，且u、w、、、和与坐标θ无关。
上述不等于零的六个量，可以用一个位移函数（x，y）表示为：
其中△是轴对称的拉昔拉斯算符，即
而是轴对称的双调和函数，即
⑥工程结构元件的实用理论 从广义上说，各种工程结构元件的实用理论（如杆、板、壳的实用理论）都是弹性力学的特殊分支，而且是最有实用价值的分支。这些实用理论分别依据结构元件形状及其受力的特点，对位移分布作一些合理的简化假设，对广义胡克定律也作相应的简化。这样，就能使数学方程既得到充分简化又保留了主要的力学特性。
从弹性力学看，这些结构元件的实用理论都是近似理论，其近似性大多表现为按照这些理论计算得到的应力和应变不能严格满足胡克定律。
弹性力学的问题 10
5楼：匿名用户
题目种给出的力是相反的，上底是20 下底是10 这样就平衡了！
下面讲一下解题的具体步骤：
1 用应力函数法
等厚薄板受均布载荷时属于平面应力问题
建系，以中间截面为x方向，中点处的竖直线为y轴（好处：问题化为求，y=0时的各应力分量）
上下底不同必定有剪力存在，设应力函数为3次多项式的通式（因为满足相容方程必定低于4次）有7个待定系数 忽略一次式和常数项，因为它们对应力分量没有贡献
2 将应力代入直角坐标系下的应力表示的应变协调方程可以确定其中的一些常数
3确定边界条件
主要边界
上底：y=1 y向正应力=-20 剪力=0下底：y=-1 y向正应力=-10 剪力=0注：
方向根据“正面正向，负面负向”来判断（当不能精确满足时，可以应用圣维南定理，运用对边界的应力的积分来等效代替）
次要边界 是两侧面 将边界条件代入
4确定各个系数后
对应力函数取2阶导，求出x向和y向的正应力以及剪应力令y=0即可得出结果！
什么是弹性力学平面应力问题,弹性力学平面问题包括哪两类联系及区别
1楼 所谓平面应力问题和平面应变问题 是三维情况下的简化 与平面垂直的方向上边界条件限制不同 平面应力问题 是指在在垂直这个平面的方向上 正应力为0 平板问题谐如此 平面应变问题 是指在在垂直这个平面的方向上 正应变为0 大坝问题谐如此 理解了吗 2楼 单枪不用马 平面应力 只在平面内有应力，与该面...