1楼：大野瘦子
用法：[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)1、odefun 是函数
句柄，可以是函数文件名，匿名函数句柄或内联函数名。
2、tspan是区间 [t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf]。
3、y0是初始值向量。
4、t返回列向量的时间点。
5、y返回对应t的求解列向量。
算例程序：
function testode45
tspan=[3.9 4.0]; %求解区间y0=[8 2]; %初值
[t,x]=ode45(@odefun,tspan,y0);
plot(t,x(:,1),'-o',t,x(:,2),'-*')legend('y1','y2')
title('y'' ''=-t*y + e^t*y'' +3sin2t')
xlabel('t')
ylabel('y')
function y=odefun(t,x)y=zeros(2,1); % 列向量
y(1)=x(2);
y(2)=-t*x(1)+exp(t)*x(2)+3*sin(2*t); %常微分方程公式
endend
2楼：机智的煎饼
ode45，常微分方程的数值求解。matlab提供了求常微分方程数值解的函数。当难以求得微分方程的解析解时，可以求其数值解。matlab ode45用法如下：
[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)
[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
[t,y,te,ye,ie] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
sol = ode45(odefun,[t0tf],y0...)
[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)
odefun 是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名
tspan 是区间 [t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf]
y0 是初始值向量
t 返回列向量的时间点
y 返回对应t的求解列向量
[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等
[t,y,te,ye,ie] =ode45(odefun,tspan,y0,options)
在设置了事件参数后的对应输出
te 事件发生时间
ye 事件发生时之答案
ie 事件函数消失时之指针i
sol =ode45(odefun,[t0 tf],y0...)
sol 结构体输出结果
ode的作用
ode是matlab专门用于解微分方程的功能函数。该求解器有变步长（variable-step）和定步长（fixed-step）两种类型。
不同类型有着不同的求解器，其中ode45求解器属于变步长的一种，采用runge-kutta算法；其他采用相同算法的变步长求解器还有ode23。
ode45表示采用四阶-五阶runge-kutta算法，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种自适应步长（变步长）的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(δx)^5。
解决的是nonstiff(非刚性)常微分方程。ode45是解决数值解问题的首选方法，若长时间没结果，应该就是刚性的，可换用ode15s试试。
3楼：ieio啊
ode45表示采用四阶-五阶runge-kutta算法，它用4阶方法提供候选解，5阶方法控制误差，是一种自适应步长（变步长）的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(δx)^5。解决的是nonstiff(非刚性)常微分方程。
ode45语法：
[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)
[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
[t,y,te,ye,ie] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
sol = ode45(odefun,[t0tf],y0...)
[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0)
odefun 是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名
tspan 是区间 [t0 tf] 或者一系列散点[t0,t1,...,tf]
y0 是初始值向量
t 返回列向量的时间点
y 返回对应t的求解列向量
[t,y] = ode45(odefun,tspan,y0,options)
options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等
[t,y,te,ye,ie] =ode45(odefun,tspan,y0,options)
在设置了事件参数后的对应输出
te 事件发生时间
ye 事件发生时之答案
ie 事件函数消失时之指针i
sol =ode45(odefun,[t0 tf],y0...)
sol 结构体输出结果
如何在function里使用ode45输出值
(1) 主程式 (test.m)
边界值为 y(1/1.5)=alpha=0 y(1)=beta=0
用 shooting method 去解二阶 ode 的边界值问题，
解 ode 使用的指令为 ode45
(2)function (funtest1.m)
解4 条first-order initial value problems
但a 的值是要从判断解出来的值运算後，是否有大於 1 来设定
h=0.25;
m=1.2;
si=((y/x)^2-y*y'/x+(y')^2)^0.5
if si>1
a=(si.^m-1)/(h*si)
elseif si<=1
a=0end
4楼：子衿悠你心
ode45可以用来解微分方程，基本用法如下：
一、常用格式：[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0)
参数说明：
odefun:用以表示f(t,y)的函数句柄或inline函数，t是标量，y是标量或向量。
tspan：如果是二维向量[t0,tf],表示自变量初值t0和终值tf;如果是高维向量[t0,t1,…,tn],则表示输出节点列向量。
y0:表示初始向量y0。
t：表示节点列向量(t0,t1,…,tn)t。
y:表示数值解矩阵，每一列对应y的一个分量。
若无输出参数，则作出图形。
二、完整格式：[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0,options,p1,p1,…)
options:为计算参数（如精度要求）设置，默认可用空矩阵表示。
p1,p2,…:为附加传递参数，这时的odefun表示f(t,y,p1,p2,…)。
注：ode45是最常用的求解微分方程的指令。它采用变步长
四、五阶runge-kutta-felhberg法，适合高精度问题。
实例：拓展说明：
ode23解非刚性微分方程，低精度，使用runge-kutta法的二三阶算法。
ode45解非刚性微分方程，中等精度，使用runge-kutta法的四五阶算法。
ode113解非刚性微分方程，变精度变阶次adams-bashforth-moultonpece算法。
ode23t解中等刚性微分方程，使用自由内插法的梯形法则。
ode15s解刚性微分方程，使用可变阶次的数值微分（ndfs）算法。
ode23s解刚性微分方程，低阶方法，使用修正的rosenbrock公式。
ode23tb解刚性微分方程，低阶方法，使用tr-bdf2方法，即runger-kutta公式的第一级采用梯形法则，第二级采用gear法。
5楼：匿名用户
3.6.2 龙格- 库塔方法
改进的欧拉法比欧拉法精度高的原因在于，它在确定平均斜率时，多取了一个点的斜
率值。这样，如果我们在[xi,x(i+1)]上多取几个点的斜率值，然后对它们作线性组合得到平均
斜率，则有可能构造出精度更高的计算方法。这就是龙格-库塔法的基本思想。龙格-库塔
法可看作是欧拉法思想的提高，属于精度较高的单步法。
龙格-库塔法是求解常微分方程初值问题的最重要的方法之一。matlab中提供了几
个采用龙格-库塔法来求解常微分方程的函数，即ode23，ode45，ode113 ，ode23s ，ode15s
等，其中最常用的函数是 ode23( 二三阶龙格-库塔函数)和ode45( 四五阶龙格-库塔函数)，
下面分别对它们进行介绍。
1 ．二三阶龙格- 库塔函数(ode23)
函数 ode23 的调用格式如下：
(1) [t,y]=ode23('f',tspan,y0) 输入参数中的'f' 是一个字符串，表示微分方程的形
式，也可以是 f (x , y )的m 文件。tspan=[t0 tfinal]表示积分区间，y0表示初始条件。
函数 ode23 表示在初始条件 y0下从 t0到tfinal 对微分方程 '(,) yfty = 进行积分。函数
f(t, y) 必须返回一列向量，两个输出参数是列向量 t 与矩阵 y，其中向量 t 包含估计响应
的积分点，而矩阵 y 的行数与向量 t 的长度相等。向量 t 中的积分点不是等间距的，这是
为了保持所需的相对精度，而改变了积分算法的步长。为了获得在确定点t0,t1, "的解，
tspan=[t0 t1 tfinal] 。需要注意的是：tspan中的点必须是单调递增或单调递减的。
(2) [t,y]=ode23('f',tspan,y0,options) 其中，参数 options 为积分参数，它可由函
数odeset 来设置。options参数最常用的是相对误差‘reltol’( 默认值是 1e-3)和绝对误差
‘abstol’(默认值是 1e-6)，其他参数同上。
(3) [t,y]=ode23('f',tspan,y0,options,p1,p2,…) 参数p1,p2, …可直接输入到函数
f 中去．如 f(t,y,flag,p1,p2,…)。如果参数 options为空，则输入 options=[ ]。也可
以在 ode文件中(可参阅 odefile函数)指明参数 tspan、y0和options的值。如果参
数tspan 或y0 是空，则ode23函数通过调用ode文件[tspan, y0, options] =
f([ ],[ ], 'init ')来获得 ode23函数没有被提供的自变量值。如果获得的自变量表示空，则函
数ode23会忽略，此时为 ode23('f')。
(4) [t,y,te,ye,ie]=ode23('f',tspan,y0,options) 此时要求在参数 options 中的事
件属性设为'on' ，ode文件必须被标记，以便 p(t,y,'events') 能返回合适的信息，详细可参
阅函数 odefile。输出参数中的 te是一个列向量，矩阵 ye的行与列向量 te中元素相
对应，向量 ie 表示解的索引。
2 ．四五阶龙格- 库塔函数(ode45)
函数 ode45 的调用格式同 ode23 相同，其差别在于内部算法不同。如果'f' 为向量函数，
则ode23 和ode45 也可用来解微分方程组。
【例3.47 】 分别用二三阶龙格-库塔法和四五阶龙格-库塔法解常微分方程的初值问题：
解：先将微分方程写成自定义函数 exam2fun.m
function f=exam2fun (x,y)
f=-y-x*y.^2;
f=f(:);
然后在命令窗口输入以下语句：
>> [x1,y1]=ode23('exam2fun',[0:0.1:1],1)
x1 =
0 0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
y1 =
1.0000
0.9006
0.8046
0.7144
0.6314
0.5563
0.4892
0.4296
0.3772
0.3312
0.2910
>> [x2,y2]=ode45('exam2fun',[0:0.1:1],1)
x2 =
0 0.1000
0.2000
0.3000
0.4000
0.5000
0.6000
0.7000
0.8000
0.9000
1.0000
y2 =
1.0000
0.9006
0.8046
0.7144
0.6315
0.5563
0.4892
0.4296
0.3772
0.3312
0.2910
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