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不等式证明知识概要
河北/赵春祥
不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。
一、要点精析
1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：
①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：
根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈r+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：
①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。
应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：
ab1 b2 b3… bnb，即从已知a逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论b。
3.分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。用分析法证明ab的逻辑关系为：
bb1b1 b3 … bna，书写的模式是：为了证明命题b成立，只需证明命题b1为真，从而有…，这只需证明b2为真，从而又有…，……这只需证明a为真，而已知a为真，故b必为真。这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。
4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式a>b，先假设a≤b，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定a>b。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。
5.换元法换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。
(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：
①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tana+tanb+tanc=tanatan-btanc知，可设x=taaa，y=tanb，z=tanc，其中a+b+c=π。(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。
如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。
6.放缩法放缩法是要证明不等式a (1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。 二、难点突破 1.在用商值比较法证明不等式时，要注意分母的正、负号，以确定不等号的方向。 2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思考，因为它方向明确，思路自然，易于掌握；后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清晰，形式简洁，适合人们的思维习惯。但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，如果把“只需证明”等字眼不写，就成了错误。 而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探索的过程。因而证明不等式时，分析法、综合法常常是不能分离的。如果使用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探索证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律。 还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的。这充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系。分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点。 3.分析法证明过程中的每一步不一定“步步可逆”，也没有必要要求“步步可逆”，因为这时仅需寻找充分条件，而不是充要条件。如果非要“步步可逆”，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能使用于证明等价命题了。 用分析法证明问题时，一定要恰当地用好“要证”、“只需证”、“即证”、“也即证”等词语。 4.反证法证明不等式时，必须要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出矛盾。 5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有一定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果。这是换元法的重点，也是难点，且要注意整体思想的应用。 6.运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度，即要恰当、适度，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论。另外，是分组分别放缩还是单个对应放缩，是部分放缩还是整体放缩，都要根据不等式的结构特点掌握清楚。 （摘自：《考试报·高二数学版》2004年/07月/20日） 1、比较法（作差法） 在比较两个实数 和 的大小时，可借助 的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。 变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。 例1、已知： ， ，求证： 。 证明： ，故得 。 2、分析法（逆推法） 从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。 例2、求证： 。 证明：要证 ，即证 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。 3、综合法 证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。 例3、已知： ， 同号，求证： 。 证明：因为 ， 同号，所以 ， ，则 ，即 。 4、作商法（作比法） 在证题时，一般在 ， 均为正数时，借助 或 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）。 例4、设 ，求证： 。 证明：因为 ，所以 ， 。而 ，故 。 5、反证法 先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。 例5、已知 ， 是大于1的整数，求证： 。 证明：假设 ，则 ，即 ，故 ，这与已知矛盾，所以 。 6、迭合法（降元法） 把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。 例6、已知： ， ，求证： 。 证明：因为 ， ， 所以 ， 。 由柯西不等式 ，所以原不等式获证。 7、放缩法（增减法、加强不等式法） 在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为： 改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。 例7、求证： 。 证明：令 ，则 ， 所以 。 8、数学归纳法 对于含有 的不等式，当 取第一个值时不等式成立，如果使不等式在 时成立的假设下，还能证明不等式在 时也成立，那么肯定这个不等式对 取第一个值以后的自然数都能成立。 例8、已知： ， ， ，求证： 。 证明：（1）当 时， ，不等式成立； （2）若 时， 成立，则 = ，即 成立。 根据（1）、（2）， 对于大于1的自然数 都成立。 9、换元法 在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。 例9、已知： ，求证： 。 证明：设 ， ，则 ， （因为 ， ）， 所以 。 10、三角代换法 借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。 例10、已知： ， ，求证： 。 证明：设 ，则 ；设 ，则 所以 。 11、判别式法 通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。 例11、设 ，且 ，求证： 。 证明：设 ，则 代入 中得 ，即 因为 ， ，所以 ，即 ， 解得 ，故 。 12、标准化法 形如 的函数，其中 ，且 为常数，则当 的值之间越接近时， 的值越大（或不变）；当 时， 取最大值，即 。 标准化定理：当a+b为常数时，有 。 证明：记a+b=c，则 ， 求导得 ，由 得c=2a，即a=b 又由 知 的极大值点必在a=b时取得 由于当a=b时， ，故得不等式。 同理，可推广到关于 个变元的情形。 例12、设a，b，c为三角形的三内角，求证： 。 证明：由标准化定理得，当a=b=c时， ，取最大值 ，故 。 13、等式法 应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。 例13（1956年波兰数学竞赛题）、 为 的三边长，求证： 。 证明：由海**式 ， 其中 。 两边平方，移项整理得 而 ，所以 。 14、函数极值法 通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。 例14、设 ，求证： 。 证明：当 时， 取最大值 ； 当 时， 取最小值－4。 故 。15、单调函数法 当 属于某区间，有 ，则 单调上升；若 ，则 单调下降。推广之，若证 ，只须证 及 即可， 。 例15、 ，求证： 。 证明：当 时， ，而 故得 。 16、中值定理法 利用中值定理： 是在区间 上有定义的连续函数，且可导，则存在 ， ，满足 来证明某些不等式，达到简便的目的。 例16、求证： 。 证明：设 ，则 故 。17、分解法 按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。 例17、 ，且 ，求证： 。 证明：因为 所以 。 18、构造法 在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明快、以巧取胜的目的。 例18、已知： ， ，求证： 。 证明：依题设，构造复数 ， ，则 ， 所以 故 。 19、排序法 利用排序不等式来证明某些不等式。 排序不等式：设 ， ，则有 ，其中 是 的一个排列。当且仅当 或 时取等号。 简记作：反序和 乱序和 同序和。 例19、求证： 。 证明：因为 有序，所以根据排序不等式同序和最大，即 。 20、几何法 借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。 例20、已知： ，且 ，求证： 。 证明：以 为斜边， 为直角边作 延长ab至d，使 ，延长ac至e，使 ，过c作ad的平行线交de于f，则 ∽ ，令 ， 所以 又 ，即 ，所以 。 另外，还可以利用重要的不等式来证题，如平均不等式、柯西（cauchy）不等式、琴生（jensen）不等式、绝对值不等式、贝努利（j.bernoulli）不等式、赫尔德（o.hlder）不等式、三角形不等式、闵可夫斯基（h. minkowski）不等式等，这里不再烦述了。 在实际证明中，以上方法往往相互结合、互相包含，证题时，可能同时运用几种方法，结合起来加以证明。 参考文献 [1]李玉琪主编初等代数研究北京：中国矿业大学出版社，1993 [2]方初宝等编数学猜想法**重庆：科技文献出版社重庆分社，1988 [3]吴德风不等式与线性规划初步北京：科学普及出版社，1983 1楼 an你若成风 首先看到这题我会用你写的方法去做，直接用c代入，当做到最后，发现了一个问题 所以转向参 的方法 分别在0，1点进行分析 下面解释划线部分 懂了吗？因为要放大，所以就要考虑最极端的情况 一个最大值减去最小值，又 f x a，所以出现上述不等式 证明不等式 高数题目 ？ 2楼 善良的... 1楼 匿名用户 学前儿童心理学研究的对象 从出生到入学前 0 6 7岁 的 儿童的心理发生和发展规律 心理学作业 学前儿童心理学研究对象是什么？ 2楼 yzwb我爱我家 学前儿童心理学，是研究人从出生到入学前心理发展规律的科学。 广义的学前期，指人从出生到进入小学之前 0 6岁 这段时期。学前儿童心... 1楼 火狐浏览器是独立的核 但是不建议楼主卸载ie 2楼 匿名用户 谷歌，火狐，opera ，还有苹果的浏览器 哪些浏览器是用ie内核的？哪些不是ie内核的， 3楼 一双大烟枪 浏览器使用ie内核的有世界之窗浏览器 2 360安全浏览器使用360公司推出的一款双核浏览器，有ie和chrome双内核。...高数中不等式的证明题目,证明不等式（高数题目）？
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