1楼：_无限
数学归纳法和超穷归纳法都可以作为公理集合论的内定理而被证明, 但是有的时候我们必须在元的层次上使用它们, 至少是使用元的数学归纳法, 比如有些时候我们要用结构归纳法证明一阶逻辑的某些元定理. 必须承认在这里使用归纳法确实是没有根据的, 但是各个层次的定理的证明始终都要建立在某些基础之上, 这时候只能把归纳法, 反证法这些比较容易接受的东西作为"元"公理来使用, 事实上hilbert计划证明数学的一致性的时候也是基于这样的基础. 并且这件事情是不可能避免的, 即使在罗素的类型论中他都不得不引入了可化归公理来解决这个问题(而可化归公理看起来是很不靠谱的...
), 所以公理集合论就更没有希望排除这个问题了. 但是不论如何, 必须要区分"元"数学归纳法与作为zf的定理的数学归纳法, "元"反证法与作为一阶逻辑定理的反证法.
2楼：匿名用户
在函数论上，所有自然数构成的集合是一个可数集合，数学归纳法是建立在自然数集合之上，这里就与数的是否有穷无关了