1楼：未济村雨
一楼答案虽然对了，但是过程却是错的。比如f(x)=(x∧2+x+3)(x∧2+x+5)这个多项式，它在有理数域内也没有有理根，但是它却是可约的。一楼的方法只适用于三次函数，当次数大于等于4后，就不能用是否有有理根来判断多项式是否可约。
2楼：匿名用户
根据广义的韦达定理，多项式f(x)=x^5-5x+1=0的解只可能是1或者-1，而当x=1或者x=-1时，多项式f(x)=x^5-5x+1有都不等于0，所以，这个多项式在有理数域不可约。
证明多项式粉f(x)=x^5-5x 1在有理数域上不可约
3楼：匿名用户
猜f(x)=x^5-5x+1,
f(1)=-3,f(-1)=5,
∴土1不是f(x)的零点，f(x)的零点不是有理点，∴命题成立。
证明:整系数多项式f(x)在有理数域上不可约当且仅当f(x)在整数范围不可约
4楼：
f(x)=p(x)q(x) => f(x+a)=p(x+a)q(x+a)
f(x+a)=u(x)v(x) => f(x)=u(x-a)v(x-a)
证明多项式f(x)=x^3+3x+1在有理数域上不可约
5楼：匿名用户
一个3次多项式若在
有理数域上可约则必含有有理的1次因子.
换句话说必须有有理根.
假设f(x)有有理根p/q, 其中p,q为互质的整数.
f(x)作为整系数多项式, 可以证明p整除常数项, 而q整除首项系数.
对f(x) = x^3+3x+1来说, 只有p/q = 1或-1.
但容易验证1和-1都不是f(x)的根, 因此f(x)没有有理根, 故在有理数域上不可约.
注意, 对于4次及以上的有理系数多项式,
没有有理根只是在有理数域上不可约的必要非充分条件.
多项式x^6+x^3+1 在有理数域是否可约
6楼：玲玲的湖
^由f(x) = x^6+x^3+1是x^9-1的因式,不难求出f(x)的6个根:
e^(±2πi/9),e^(±4πi/9),e^(±8πi/9).
可设f(x) = g(x)h(x),其中g,h都是首一的整系数多项式.
由实系数多项式虚根成对,e^(±2πi/9)要么同时是g(x)的根,要么同时是h(x)的根.
于是g(x)或h(x)含有因式(x-e^(2πi/9))(x-e^(-2πi/9)) = x^2-2cos(2πi/9)x+1.
同理,g(x)或h(x)含有因式x^2-2cos(4πi/9)x+1,以及x^2-2cos(8πi/9)x+1.
因此,若g(x)或h(x)次数都不小于1,则次数必为2,4分组.
其中2次因式必为上述三者之一.
但这三个都不是整系数多项式,矛盾.
故f(x)不可约.
注1:这道题比较特殊,x^6+x^3+1其实是一个分圆多项式.
从抽象代数的角度可以立即知道其不可约.
注2:虽然f(x) = x^2+x+1不可约,但是f(x^2) = x^4+x^2+1 = (x^2-x+1)(x^2+x+1)是可约的.
这是给楼下的反例.
注3:讨论整系数多项式分解的另一种办法是考虑mod p意义下的分解.
比如x^6+x^3+1其实是mod 2不可约的,所以在有理数域上也不可约 (反过来是不成立的).
用综合除法证明f(x)=x^6-2x^3-2在有理数域上不可约
7楼：
不用这么麻烦吧，用艾森思坦判别法就好了，去素数2
f(x)是次数n(n>=2)的系数为正整数的一个多项式，且根为实数，证明f(x)在有理数域上不可约 5
8楼：
结论是不对的，比如p=q=0的时候有n个实根，因为习惯上多项式的根是要计重数的，所以需要适当修正一下：
当n为偶数时至多有两个 不同的 实根，当n为奇数至多有三个 不同的 实根。
首先，若f(x)=x^n+px+q至少有四个不同的实根，利用两次rolle定理可得f''(x)至少有两个不同的实根，但是f''(x)=n(n-1)x^只有x=0一个零点，矛盾。
当n是偶数时，若f(x)至少有三个不同的实根，用一次rolle定理得f'(x)至少有两个不同的实根，然而f'(x)=nx^+p单调，最多只有一个零点，矛盾。
多项式x^6+x^3+1在有理数域是否可约？
9楼：玲玲的湖
^由f(x) = x^6+x^3+1是x^9-1的因式,不难求出f(x)的6个根:
e^(±2πi/9),e^(±4πi/9),e^(±8πi/9).
可设f(x) = g(x)h(x),其中g,h都是首一的整系数多项式.
由实系数多项式虚根成对,e^(±2πi/9)要么同时是g(x)的根,要么同时是h(x)的根.
于是g(x)或h(x)含有因式(x-e^(2πi/9))(x-e^(-2πi/9)) = x^2-2cos(2πi/9)x+1.
同理,g(x)或h(x)含有因式x^2-2cos(4πi/9)x+1,以及x^2-2cos(8πi/9)x+1.
因此,若g(x)或h(x)次数都不小于1,则次数必为2,4分组.
其中2次因式必为上述三者之一.
但这三个都不是整系数多项式,矛盾.
故f(x)不可约.
注1:这道题比较特殊,x^6+x^3+1其实是一个分圆多项式.
从抽象代数的角度可以立即知道其不可约.
注2:虽然f(x) = x^2+x+1不可约,但是f(x^2) = x^4+x^2+1 = (x^2-x+1)(x^2+x+1)是可约的.
这是给楼下的反例.
注3:讨论整系数多项式分解的另一种办法是考虑mod p意义下的分解.
比如x^6+x^3+1其实是mod 2不可约的,所以在有理数域上也不可约 (反过来是不成立的).