1楼：匿名用户
连续群理论及其应用的一些主要问题。从群的定义开始,深入讨论了李群、李代数、邓金图、克罗内克乘积等方面的数学方法,并着重论述了在物理学中的应用。最后讨论了三个研究专题:
谐振子,氢原子,费米子和壳层结构
数学中“群”的概念和应用
2楼：辽宁阳阳
多项式的对称
假设 是未知数， 是 的二次方程， ,它的两个根 有如下关系：
， 和 都有这样的性质：把 和 对换，结果仍然不变，因为
， 凡是有这样性质的 和 的多项式叫做对称多项式。
例如， , 也是对称多项式，但是 就不是对称多项式。并且我们习惯上把 和 叫做初等对称多项式。
我们来看一般情况，设n∈z+, a0，a1，……an∈c,a0≠0设现在有一元n次多项式方程：
著名的代数基本定理告诉我们，这样的方程有n个根，假设为 ，那么：
和二次的情形相仿，韦达定理给出：
像如上左边各式：
等这样的多项式，不论我们对 ，作怎样的排列，都是不会变的。也就是说我们把 ， 是一个n排列,那么以上的式子是不会变的。这样的式子我们称为 的对称多项式，并且以上的几个对称多项式为初等对称多项式。
定义6：设 是c上的一个n元多项式，如果对这n个文字 的指数集施行任一个置换后， 都不改变，那么就称 是c上一个n元对称多项式。
例如: 是对称多项式，
而 就不是，
如果把：1→2，2→3，3→1
那么 初等对称多项式的重要性在于
定理（对称多项式基本定理）：
每一个n元对称多项式都可以唯一地表示成初等对称多项式的多项式。
现在我们用群的语言去描述n元多项式的对称性。
令 ,sn是m的变换群，即前面提到的n次对称群。如果我们略去字母 而只记下标，这时sn中的元素可以记为：
是一个n排列。
令f 记数域f上n元多项式的全体。对 ,利用 可以定义f 到f 的一个映射，
那么 是集合f 的一个一一变换。为什么？
令 tn中
那么（tn，o）满足 ，称之为f 的置换群。
如果把n元多项式和平面图形类比，把f 和平面类比，则f 的置换群相当于平面的运动群，（平面的所有保距变换）。
即所有不变 的那些 ，那么我们 满足性质 ,称之为n 元多项式 的对称群。
例1： ，那么 ，即四次对称群是 的对称群。
例2：例3：
——klein 4元群
例4： 单位元群
例5：是3阶循环解。
定义 ： 的一个多项式 称为对称多项式，如果 。即对称群是整个置换群。
就这样我们用群来刻划了多项式的对称。
如何去构造对称多项式，可见《近世代数》p55。
四、数域的对称
数域的概念在大学一年级高等代数中就讲过了。
一个非空数集f，至少含有一个非零的数，如果f对＋，－，×，÷封闭，那么f称为一个数域。
q，r，c都是数域，最小的数域是q，
也是一个数域。
平面图形是一个几何结构，即是把一个点集m（图形由点组成）连同此点集m中任意两点间的距离作为一个整体来考虑，而其对称群就是m的保持其任两点间的距离不变的变换的全体，这些保持m的几何结构（即距离）的变换的全体，就刻画了几何结构的对称。
完全类似地，数域f是一个代数结构，也就是把一个数集f连同此数集f中加、减、乘、除的运算作为一个整体一起来考虑。
所以数域f的对称也同样地可以用f的保持代数结构（即运算）的变换的全体来刻画。
定义7数域f的自同构 是指：
（1） 是f的一个一一变换
（2）定理1若 是f的自同构，那么 有以下系列的性质：
（1）（2） ；
（3）（4） .
和我们前面讨论平面有限图形k的对称一样两个对称变换的乘积仍是k的一个对称变换，类似地我们有：
性质1设 和 是数域f的两个自同构，那么 和 也是f的一个自同构.
性质2令aut（f）表示f的所有自同构的全体，令o表示变换的乘法，则（aut(f),o）满足g1)—g4)。
定义8 称（aut(f),o）为数域f的自同构群。
我们可以这样来类比：数域f的自同构群相当于图形k的对称群，后者刻画了图形k的对称，前者则刻画了数域的“对称”，——它是图形对称在数域上的一个类比概念。
定理2有理数域 的自同构群只有一个元素——恒等自同构i。
由此可知，若任意数域f，f ，且 ，那么 。即 ， 限制在 上是恒等变换。
例1令 是一个数域，是把 添加到 做成的代数扩域。考察f的自同构群。设 ，
由定理1知， ，
故 ，变换的结果取决于
令 最多只有2个数值 和 ，故f的自同构群只有
可以验证i、 确为f上的自同构。
o i φ
i i φ
φ φ i
这是一个2元循环群， ，
同构于 ，即 的对称群。
例2令这也是一个数域。设 ，同上例， 的作用决定于 和 ，知 和 只有4种组合方式。故aut(e)只有4个元素
o i φ1 φ2 φ12
i i φ1 φ2 φ12
φ1 φ1 i φ12 φ2
φ2 φ2 φ12 i φ1
φ12 φ12 φ2 φ1 i
o (1) (12) (34) (12)(34)
(1) (1) (12) (34) (12)(34)
(12) (12) (1) (12)(34) (34)
(34) (34) (12)(34) (1) (12)
(12)(34) (12)(34) (34) (12) (1)
aut(e)与klein 4元群同构 :
，即 的对称群。
我们把上面说的推广到一般情况，
定义9给定两个数域f和e，如果f e，则称f是e的子域，而称e为f的扩域。令
即 是使得f中元素不动的e的自同构，aut(e:f)就是由所有这样的 组成。
f就相当于平面图形的对称中的对称轴或是旋转中心。
命题（aut(e:f)，o）满足 ，称为数域e在f上的对称群。
例3 和 都不能使到a+b 保持不变。
设 ， 为n次多项式，n个根为 ， 在f上的**域为e， ，那么称（aut(e:f)，o）为f上多项式 的根的对称群，也称为f上一元多项式 的galois群。这个群在解决五次以上多项式方程不可能有根式解的问题上起了关键作用。
五、关于“对称与群”的教学
（1） 认识运算的广泛性，不只是数可以运算，其他的一些数学对象也可以运算，并且满足一些数的运算所具有的性质。
（2） 乘法不一定是可以交换的。
（3） 代数结构的概念：一个集合，加上这个集合中的运算，构成一个代数系统，其结构体现在运算关系上。
（4） 群的概念：对称群是一个具体的群。满足g1)—g4)，就称为群。
（5） 数学语言是刻画自然现象的一个极好工具，数学是模式的研究。数学**于实际问题。
3楼：匿名用户
在数学中，群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。要具有成为群的资格，这个集合和运算必须满足一些被称为“群公理”的条件，也就是结合律、单位元和逆元。尽管这些对于很多数学结构比如数系统都是很熟悉的，例如整数配备上加法运算就形成一个群，但将群公理的公式从具体的群和其运算中抽象出来，就使得人们可以用灵活的方式来处理有着非常不同的数学起源的实体，而同时在抽象代数之上保留很多对象的本质结构体貌。
群在数学内外各个领域中是无处不在的，使得它们成为当代数学的中心组织原理。[1][2]
群与对称概念共有基础根源。对称群把几何物体的对称特征定为：它由保持物体不变的变换的集合，和通过把两个这种变换先后进行来组合它们的运算构成。
这种对称群，特别是连续李群，在很多学术学科中扮演重要角色。例如，矩阵群可以用来理解在狭义相对论底层的基本物理定律和在分子化学中的对称现象。
群的概念引发自多项式方程的研究，由埃瓦里斯特伽罗瓦在 1830 年代开创。在得到来自其他领域如数论和几何的贡献之后，群概念在 1870 年左右形成并牢固建立。现代群论是非常活跃的数学学科，它以自己的方式研究群。
为了探索群，数学家发明了各种概念来把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和单群。除了它们的抽象性质，群理论家还从理论和计算两种角度来研究具体表示群的各种方式(群表示)。对有限群已经发展出了特别丰富的理论，这在1983年完成的有限简单群分类中达到顶峰。
4楼：楼飇回骊娟
数学概念－－群
设g是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：
ⅰ.结合律成立，即对g中任意元素a,b,c都有(a*b)*c=a*(b*c)；
ⅱ.g中有元素e，叫做g的左单位元，它对g中每个元素a都有e*a=a；
ⅲ.对g中每个元素a在g中都有元素a^（-1），叫做a的左逆元，使a^（-1）*a=e；
群论,商群的概念是什么？有什么用？
5楼：夜独醉
在数学和抽象代数中，群论研究名为群的代数结构。群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。
群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
中文名群论
外文名group theory
基本概念
群的定义
设 是一个非空集合， 是它的一个二元运算，如果满足以下条件：
(1) 封闭性：若 ，则存在唯一确定的 使得 ；
(2) 结合律成立，即对 中任意元素 都有 ；
(3) 单位元存在：存在 ，对任意 ，满足 。 称为单位元，也称幺元；
(4) 逆元存在：任意 ，存在 ， （ 为单位元），则称 与 互为逆元素，简称逆元。 记作 ；
则称 对 构成一个群。
通常称 上的二元运算 为“乘法”，称 为 与 的积，并简写为 。
若群 中元素个数是有限的，则 称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。
定义运算
对于 ，对于 的子集 ，定义 ，简写为 ； ，简写为 。
对于 的子集 , ，定义 ，简写为 。
对于 的子集 ，记 。
群的替换定理
若是群，则对于任一 ， 。
子群若 是群， 是 的非空子集并且 也是群，那么称 为 的子群。
这条定理可以判定 的子集是否为一个子群：
且 是 的子群
历史群论是法国数学家伽罗瓦（galois）的发明。
伽罗瓦他用该理论，具体来说是伽罗瓦群，解决了五次方程问题。在此之前柯西（augustin-louis cauchy)，阿贝尔（niels henrik abel）等人也对群论作出了贡献。
最先产生的是n个文字的一些置换所构成的置换群，它是在研究当时代数学的中心问题即五次以上的一元多项式方程是否可用根式求解的问题时，经由j.-l.拉格朗日、p.
鲁菲尼、n.h.阿贝尔和e.
伽罗瓦引入和发展，并有成效地用它彻底解决了这个中心问题。某个数域上一元n次多项式方程，它的根之间的某些置换所构成的置换群被定义作该方程的伽罗瓦群，1832年伽罗瓦证明了：一元 n次多项式方程能用根式求解的一个充分必要条件是该方程的伽罗瓦群为“可解群”（见有限群）。
由于一般的一元n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群sn，而当n≥5时sn不是可解群，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。伽罗瓦还引入了置换群的同构、正规子群等重要概念。应当指出，a.
-l.柯西早在1815年就发表了有关置换群的第一篇**，并在1844～1846年间对置换群又做了很多工作。至于置换群的系统知识和伽罗瓦用于方程理论的研究，由于伽罗瓦的原稿是他在决斗致死前夕赶写成的，直到后来才在c.
若尔当的名著“置换和代数方程专论”中得到很好的介绍和进一步的发展。置换群是最终产生和形成抽象群的第一个最主要的**。
在数论中，拉格朗日和c.f.高斯研究过由具有同一判别式d的二次型类，即f=ax^2+2bxy+cy^2，其中a、b、с为整数，x、y 取整数值，且d=b^2-aс为固定值，对于两个型的"复合"乘法，构成一个交换群。
j.w.r.
戴德金于1858年和l.克罗内克于1870年在其代数数论的研究中也引进了有限交换群以至有限群。这些是导致抽象群论产生的第二个主要**。
在若尔当的专著影响下，（c.）f.克莱因于1872年在其著名的埃尔朗根纲领中指出，几何的分类可以通过无限连续变换群来进行。
克莱因和（j.-）h.庞加莱在对 "自守函数”的研究中曾用到其他类型的无限群（即离散群或不连续群）。
在1870年前后，索菲斯·李开始研究连续变换群即解析变换李群，用来阐明微分方程的解，并将它们分类。这无限变换群的理论成为导致抽象群论产生的第三个主要**。
a.凯莱于1849年、 1854年和 1878年发表的**中已然提到接近有限抽象群的概念。f.
g.弗罗贝尼乌斯于1879年和e.内托于1882年以及w.
f.a.von迪克于 1882～1883年的工作也推进了这方面认识。
19世纪80年代，综合上述三个主要**，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理系统，大约在1890年已得到公认。20世纪初，e.v.
亨廷顿，e.h.莫尔，l.
e.迪克森等都给出过抽象群的种种独立公理系统，这些公理系统和现代的定义一致。
在1896～1911年期间，w.伯恩赛德的“有限群论”先后两版，颇多增益。g.
弗罗贝尼乌斯、w.伯恩赛德、i.舒尔建立起有限群的矩阵表示论后，有限群论已然形成。
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