1楼：江淮一楠
微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。
分划的参数趋于零时的极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。
不定积分：即已知导数求原函数。若f′（x)=f(x)，那么[f(x)+c]′=f(x).
(c∈r).也就是说，把f(x)积分，不一定能得到f(x），因为f(x)+c的导数也是f(x）（c是任意常数）。所以f(x）积分的结果有无数个，是不确定的。
我们一律用f(x)+c代替，这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数，那么它就有无限多个原函数。
定积分 （definite integral）：定积分就是求函数f(x）在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(x）所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
定积分2定义
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],…,(xi,b]，可知各区间的长度依次是：△x1=x0-a，△x2=x1-x0,…，△xi=b-xi.在每个子区间（xi-1,xi）任取一点ξi(i=1,2,…,n），作和式（见右下图），设λ=max(即λ属于最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为（见右下图）：
其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x) 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。
之所以称其为定积，定积分是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数， 而不是一个函数。
3黎曼积分：定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。
实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.
我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个函数的原函数。它们看起来没有任何的联系，那么为什么定积分要写成积分的形式呢？
4分点问题：定积分是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距δx是相等的。
但是必须指出，即使δx不相等，积分值仍然相同。我们假设这些“矩形面积和”s=f(x1）δx1+f(x2）δx2+……f[x(n-1)]δx(n-1），那么当n→+∞时，δx的最大值趋于0，所以所有的δx趋于0，所以s仍然趋于积分值.
利用这个规律，在我们了解牛顿-莱布尼兹公式之前，我们便可以对某些函数进行积分。例如我们可以证明对于函数f(x)=x^k（k∈q，k≠-1），有f(x)dx=(b^(k+1)-a^(k+1))/(k+1)。
我们选择等比级数来分点，令公比q=n^√（b/a），则b/a=q^n，b=aq^n。令分点x0=a,x1=aq,x2=aq^2……xn=aq^n=b，因为f(xj)=xj^k=a^k*q^jk，且δxj=x(j+1)-xj=aq^(j+1)-aq^j 那么“矩形面积和”
sn=a^k*(aq-a)+a^k*q^k*(aq^2-aq)+a^k*q^2k*(aq^3-aq^2)+……+a^k*q^(n-1)k*[aq^n-aq^(n-1)]
提出a^k*(aq-a），则
sn=a^(k+1)*(q-1)*[1+q^(k+1)+q^2(k+1)+……q^(n-1)(k+1)]
利用等比级数公式，得到
sn=(q-1)/(q^(k+1)-1)*(b^(k+1)-a^(k+1))=(b^(k+1)-a^(k+1))/n
其中n=(q^(k+1)-1)/(q-1），设k=u/v(u,v∈z），令q^(1/v)=s，则
n=(s^(k+1)v-1)/(s^v-1)=(s^u+v-1)/(s^v-1)=((s^(u+v)-1)/(s-1))/((s^v-1)/(s-1))
令n增加，则s,q都趋于1，因而n的极限为（u+v)/v=u/v+1=k+1.
5性质①：常数可以提到积分号前。
性质②：代数和的积分等于积分的代数和。
③：定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个
子区间[a,c]与（c,b]则有（见右图）
④risch 算法
⑤如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则f(x)dx≥0
6常用算法
换元法（1）f(x)∈c([a,b]);
(2)x=ψ(t)在[α,β]上单值、可导;
(3)当α≤t≤β时，a≤ψ(t)≤b,且ψ（α）=a,ψ(β)=b,
则f(x)dx=f(ψ(t))ψ′(t)dt
分部积分法
设u=u(x),v=（x)均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈r（[a,b]),则有分部积分公式
uv′dx= uvvu′dx
7基本定理
定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个
数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：
如果f(x)是[a,b]上的连续函数，并且有f′（x)=f(x），那么 f(x)dx=f(b)-f(a)
用文字表述为：一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
8应用1，解决求曲边图形的面积问题
例：求由抛物线y^2=4x与直线y=2x-4围成的平
定积分的应用(4张)
面图形d的面积s.
2，求变速直线运动的路程
做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数v=v(t) (v(t）≥0）在时间区间[a,b]上的定积分。
3，变力做功
某物体在变力f=f(x）的作用下，在位移区间[a,b]上做的功等于f=f(x）在[a,b]上的定积分。（见图册“应用”）
9定理定理1：设f(x）在区间[a,b]上连续，则f(x）在[a,b]上可积。
定理2：设f(x）在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x）在[a,b]上可积。
定理3：设f(x）在区间[a,b]上单调，则f(x）在[a,b]上可积。
关于定积分的一点疑问
2楼：茅山东麓
解答：楼主的这一段叙述中，犯了两个概念错误，不得不指出：
第一个概念错误：
面积为正当然不错，但是必须是上方的函数f(x)减下方的函数g(x)才行，积分的结果才是正。
本题x在x上方，只有[0, 1]这一段。所以a，b不可以任意定。
第二个概念错误：
本题只有在[0，1]内的积分才是正值。在此区间外的积分都是负值。
要想得到最大值(指正值，不是指绝对值)，积分的上下限自然就是 a = 0，b = 1。
没有其他选择。
楼主所说“由积分性质可以知道，积分值是由x轴上部面积减去x轴下部面积”
不知这句话，从何而来？这是完全错误的说法。
x轴上面的面积是正，x轴下部的面积也是正。面积减面积，为何？为何不加？
有一些老师说，下部的面积要取绝对值，这是糊涂老师的荒唐说法，可惜的是，为数不少。
1、拿起函数随便积分不是面积！
2、曲线在x轴下方时，积分一定为负！
3、真正的计算是曲线上方的x轴的方程是 y = 0，0 - 下方的函数，然后积分。
这样一来，变成了 -∫f(x)dx (a→b)，这样结果就为正了。
在数值上正好等于 |∫f(x)dx (a→b)|。
所以，下部的面积要取绝对值这句说法，在数值结果上是对的，在概念上是含混不清的，
会误导学生，可惜这样的教师实在太多太多了。
3楼：匿名用户
可分解为∫xdx-∫x^2dx，两个面积的差，如图
可知，当积分区域取[0,1]时候面积最大
4楼：匿名用户
人为规定x轴上方为正，x轴下方为负。
不定积分与定积分问题
5楼：匿名用户
定积分与不定积分在历史上原本是两个没有关系的问题，不定积分相当于导数的逆运算，而定积分原本就是研究面积、体积等问题发展起来的，只是后来牛顿和莱布尼兹发现了它们之间的联系，可以通过不定积分来计算定积分，所以它们才起了这么相近的名称。你在一开始学习定积分时，可以先不要去想不定积分的问题，忘记不定积分，就把定积分当作一个新东西来学就行了，等到学完n-l公式以后，再将它们联系起来。
定积分的结果是一个数字，这是它与不定积分的本质区别，正因为最后结果只是一个数，无论在做题中你用什么变量做积分变量，其实对于最后的那个数字都不会产生影响，因此定积分与积分变量无关。与下面的求和问题道理是一样的：
i 从1到10，对 i 的平方求和；
n从1到10，对n的平方求和；
这两个问题没有任何区别，因为结果都只是一个数，与求和变量无关，不论你用 i 还是用 n，其实研究的都是1平方+2平方+...+10平方。
6楼：百知一度
你不用太纠结这个问题，楼上的回答很好，就像是如果你把积分看成曲边梯形，它的y方向只是两条竖直线，那当然只存在一个变量是x，但如果他不是曲边的梯形，它的左右侧也是曲线的话那它当然也是一个变量啦，你在哪个方向积哪个就是自变量，不在哪个方向积分它肯定就可以提出来当作常量用啦
c编程中main函数中使用了库文件中定义的函数，编译时却提示该函数未定义，这是什么问题，坐等高手解答
7楼：暗恋后
添加编译选项-lpthread，因为pthread不是标准的编译链接的库，需要自己添加
8楼：匿名用户
原因：头文件 pthread.h 没有包含到源文件中解决方法：
1）将 pthread.h 复制到源文件相同的文件夹中2）修改为：#include "pthread.h"
为什么定积分算出来不用加常数,为什么定积分算出来不用加常数就比如算个函数的面积
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