1楼：巴山蜀水
解：分享一种解法，利用极坐标求解【计算过程中，设α=θ+π/3，b=√3】。
设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤π/3。又，经过点(2,0)、(1,√3)的的直线方程为，y=-√3(x-2)。
∴ρsinθ=-√3(ρcosθ-2)，p=2b/(sinθ+bcosθ)=b/sinα。∴0≤ρ≤bsecα。
∴原式=∫(0,π/3)dθ∫(0,bsecα)ρdρ/(1+ρ)。
而，∫(0,bsecα)ρdρ/(1+ρ)=-(1/2)1/(1+ρ)丨(ρ=0,bsecα)=(3/2)secα/(1+3secα)=(3/2)secα/(4+3tanα)。
又，∫secαdα/(4+3tanα)=[1/(2b)]arctan(btanα/2)]+c，
∴原式=-(√3/2)arctan(3/2)。
供参考。
二重积分问题。若d是以（0，0）（1，0）（0，1）为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义求∫∫
2楼：匿名用户
化为累次积分，
∫dx∫(2-2x-2y)dy 从0到1-x=∫dx(x^2-2x+1) 从0到1=1/3
第一题：求二重积分∫∫dxdy/（1+x ^2+y^2)^2.其中d是以点(0，0)，(2，0)， 10
3楼：匿名用户
提供一个思路
用极坐标可能会简单些
rdrda/(1+r^2)^2
=(-1/2)da[1/(1+r^2)]
计算二重积分∫∫(x^2-y^2)^(1/2)dxdy，d是以(0,0),(1,-1),(1,1)为顶点的三角形
4楼：匿名用户
d三角形上 x^2=y^2满足这个条件，而f(x,y)=(x^2-y^2)^1/2又是受x和y的影响，既f(x,y)在三角形区域内等于0.故这个积分就是0. 以普通的方式计算也还是0.
计算二重积分∫∫dsin(x+y)dxdy=(),其中d是以点o(0,0)，a(-1，1)，b(1，1)为顶点的三角形？ 5
5楼：基拉的祷告
详细过程如图rt……希望能帮到你解决问题
计算二重积分∫∫x^2*e^-y^2dxdy、其中d是以(0、0)、(1、1)和(0,1)为顶点的三角形区域。
6楼：匿名用户
计算二重积分∫∫xe^(-y)dxdy，其中d是以(0、0)、(1、1)和(0,1)为顶点的三角形区域。
解：【d】∫∫xe^(-y)dxdy=【0，1】∫e^(-y)dy【0，y】∫xdx
=【0，1】∫dy
=【0，1】(1/3)∫[ye^(-y)]dy=【0，1】(-1/6)∫yd[e^(-y)]=【0，1】(-1/6)[ye^(-y)+∫e^(-y)d(-y)]
=(-1/6)[ye^(-y)+e^(-y)]【0，1】=(-1/6)[(1/e)+(1/e)-1]=(1/6)-1/(3e).
计算二重积分∫∫(x^2-y^2)^(1/2)dxdy，d是以(0,0),(1,-1),(1,1)为顶点的三角形
7楼：星光下的守望者
^^积分区域d关于x轴对称,
原式=2∫
∫[d1](x^2-y^2)^(1/2)dxdy, d1为y=x,x=1,y=0围成的区域
=2∫[0->1]∫[0->x] (x^2-y^2)^(1/2)dydx
换元内y=xcost, t∈容[-π/2,0]=2∫[0->1]∫[-π/2->0] -xsint(x^2-y^2)^(1/2)dtdx
=2∫[0->1]∫[-π/2->0] (xsint)^2dtdx=2∫[0->1]∫[-π/2->0] (xsint)^2dtdx=2∫[0->1] (πx^2)/4dx
=2*π/12=π/6
二重积分怎么计算？
8楼：人设不能崩无限
化为二次积分。
∫∫(x+y)dxdy＝∫(0～1)dx∫(1～2) (x+y)dy＝∫(0～1) (x＋3/2)dx ＝1/2＋3/2＝2
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。
平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
9楼：wuli都灵
把二重积分化成二次积分，也就是把其中一个变量当成常量比如y，然后只对一个变量积分，得到一个只含y的被积函数，再对y积分就行了。你可以找一本高等数学书看看。
你这个题目积分区域中，x、y并不成函数关系，要是积分区域是由比如说1<=x<=2,y=f(x),y=g(x),所围成的话，那么就要先对y积分其中上下限就是f(x)、g(x)，要看谁的图形在上谁就是上限，这时候的x就当做一个常数来看待。
10楼：pasirris白沙
1、本题的积分方法是：运用平面极坐标；
.2、具体积分方法如下，如有疑问，欢迎追问，有问必答；
.3、若点击放大，**将会更加清晰。...
11楼：黄徐升
r1 对应圆弧，所以 r1=2 ，
r2 对应的是 y=2 这条直线，写成极坐标就是 r*sin(θ)=2 ，所以 r=2/sin(θ)
12楼：椋露地凛
利用极坐标计算二重积分，有公式 ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中积分区域是一样的。 i=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy x的积分上限是1,下限0 y的积分上限是x,下限是x2 积分区域d即为直线y=x,和直线y=x2在区间[0，1]所围成的面积，转换为极坐标后，θ的范围为[0,π/4],下面计算r的范围：因为y=x2的极坐标方程为：
rsinθ=r2cos2θ r=sinθ/cos2θ 因为直线y=kx和曲线y=x2的交点为(0,0),(k,k2),所以在极坐标中r的取值范围为[0,sinθ/cos2θ],则积分i化为极坐标的积分为 i＝∫dθ∫1/√(rcosθ)2+(rsinθ)2rdr =∫dθ∫dr (θ范围[0,π/4],r范围[0,sinθ/cos2θ]) =∫(sinθ/cos2θ)dθ(θ范围[0,π/4]) =∫(-1/cos2θ)dcosθ =|1/cosθ|(θ范围[0,π/4]) =1/cos(π/4)-1/cos0 =√2-1
13楼：愽
这是利用了二重积分的性质，二重积分可以化为两个一重积分，因此①式中先对y变量求积分，这时x变量对于y变量来说是常数，所以对y的函数求得原函数后带入积分限，即可将①式转化为②式
14楼：漪善幽雪
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。
一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分 的计算问题。
讨论中,我们假定 ；
假定积分区域可用不等式 表示,
其中, 在上连续。
据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积。
在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为
从而有(1)
上述积分叫做先对y,后对x的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分。
这个先对, 后对的二次积分也常记作
在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的。
例如:计算
解:类似地,如果积分区域可以用下述不等式
表示,且函数,在上连续,在上连续,则
(2)显然,(2)式是先对,后对的二次积分。
二重积分化二次积分时应注意的问题
1、积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于i型(或ii型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为i型(或ii型)区域的并集。
2、积分限的确定
二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法。
画出积分区域的图形(假设的图形如下 )
在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为。
【例1】计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域。
类似地,
【例2】计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域。
【例3】求由曲面及所围成的立体的体积。
解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域
消去变量得一垂直于面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域
2、列出体积计算的表达式
3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算
而 由,的对称性有
所求立体的体积为
二、利用极坐标计算二重积分
1、变换公式
按照二重积分的定义有
现研究这一和式极限在极坐标中的形式。
用以极点为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线 ,将剖分成个小闭区域。
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算
其中,表示相邻两圆弧半径的平均值。
(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)
在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有于是即
由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式
(1)(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素。
(1)式的记忆方法:
2、极坐标下的二重积分计算法
极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。
【情形一】积分区域可表示成下述形式
其中函数, 在上连续。
则【情形二】积分区域为下述形式
显然,这只是情形一的特殊形式( 即极点在积分区域的边界上 )。
故【情形三】积分区域为下述形式
显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分成与,而故则
由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式
下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示。
【例4】将下列区域用极坐标变量表示
1、2、
3、ê先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围；
再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围。
注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值。
利用此题结果可求出著名概率积分 。
而被积函数满足 ,从而以下不等式
成立，再利用例二的结果有,,
于是不等式可改写成下述形式
故当时有 ,
即 。
3、使用极坐标变换计算二重积分的原则
(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 )。
【例6】计算
解此积分区域为
区域的简图为
该区域在极坐标下的表示形式为