1楼：栉风沐雨
cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷
小,即1-cosx和(x^2)/2为等阶无穷小
还得说明x→0,否则x→∞,1-cosx与x^2/2就不能是等阶无穷小.
应该是当x→0,1-cosx～x^2/2,
其实这个的严格证明还得用泰勒公式,用泰勒公式将cosx在x0=0处得：
cosx=1-x^2/2+x^4/4-x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n...
从而1-cosx=x^2/2-x^4/4+x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n...
故x^2/2是1-cosx的主部,
所以lim[(1-cosx)/(x^2/2)]=1（x→0）,由等价无穷小量的定义可知1-cosx与x^2/2为等价无穷小量,即cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小量.
x处的二阶导等于零是拐点，那为什么会判断左右两边邻域二阶导异号呢，异号不就说明二阶导不存在吗，最后
2楼：朱古力月悦
1.首先二阶导数为零的点并不意味是拐点，形象点来说拐点是指f（x）的凹凸性发生改变的点。如果左右两边不异号，该点并不改变凹凸性（你可以想象一下f’（x）=0，但左右两侧同号时也不为极值的图）
2.异号并不说明二阶导数不存在，二阶导数同样是一个函数，你不能说y=x在x=0左右两侧异号，就说x=0时y不存在。
3.拐点同样可以是二阶导数不存在但左右二阶导数异号的点，理解不了的话你可以想象二阶导数是一阶导数的导数，即把f’（x）视为原函数，把拐点理解为极值，这样就比较能接受了。同样你可以试着画一下图，拐点的凹凸性画图还是比较好理解的。
3楼：为了生活奔波
^cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小,即1-cosx和(x^2)/2为等阶无穷小还得说明x→0,否则x→∞,1-cosx与x^2/2就不能是等阶无穷小. 应该是当x→0,1-cosx～x^2/2, 其实这个的严格证明还得用泰勒公式,用泰勒公式将cosx在x0=0处得： cosx=1-x^2/2+x^4/4-x^6/6+...
+(-1)^nx^2n/2n... 从而1-cosx=x^2/2-x^4/4+x^6/6+...+(-1)^nx^2n/2n...
故x^2/2是1-cosx的主部, 所以lim[(1-cosx)/(x^2/2)]=1（x→0）,由等价无穷小量的定义可知1-cosx与x^2/2为等价无穷小量,即cosx-1和-(x^2)/2是等价无穷小量.
4楼：花自無芯碎自憐
可以用反证法啊，x0左右邻域内要么同号要么异号，显然同号不可能是拐点了，
设y=f（x）在x=x0的邻域内具有三阶连续导数，三阶导数不等于0。
5楼：
(x0,f(x0))一定是拐点。
f'''(x0)=lim f''(x)/(x-x0)。
假设f'''(x0)＞0，根据保号性，在x0的某去心邻域内，f''(x)/(x-x0)＞0，进而在x0的左侧f''(x)＜0，右侧f''(x)＞0，所以(x0,f(x0))是拐点。
假设f'''(x0)＜0，根据保号性，在x0的某去心邻域内，f''(x)/(x-x0)＜0，进而在x0的左侧f''(x)＞0，右侧f''(x)＜0，所以(x0,f(x0))是拐点。
二阶导数为0，三阶导数不为0，为什么一定是拐点
6楼：匿名用户
用定义可以证的，利用保号性可以证，分左右领域，说明二阶导数左右异号。。。也可以用性质，2个方法，你看着办吧，如图所示。
函数在某点的二阶导数等于0但三阶导数不存在,该点是函数的拐点吗
7楼：天才小
当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且二阶导数在该点两侧附近异号（或者说该点三阶导数不为0），这点即为函数的拐点
ps：除了二阶导数为0的情况，也要考虑该点二阶导数不存在的情况，这也可能是拐点
8楼：匿名用户
你这里说的函数在该点的一阶导数也是0吧？不过根据泰勒展式f(x)=f(x0)+f'(x0)h+f''(x0)h/2+o(h)，还是无法判断该驻点的性质啊。。
9楼：罗秀荣系夏
是的。拐点处的二阶导数
都为0,如果二阶导数等于0还要证明该点的左边和右边二回阶导答数符号相反,即左负右正或左正右负才是拐点。否则就是不存在。
一阶导数描述函数的变化,二阶导数描述一阶导数的变化,也就是斜哗胆糕感蕹啡革拾宫浆率的变化情况。
二阶导数为0，那说明斜率也是0.
一阶导等于零，二阶导等于零，三阶导不等于零那么这个点是极值点吗（求详细证明）
10楼：
不是极值点。可用泰勒来证明。
在x0处展开为：
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f"(x0)(x-x0)/2!+f"'(x0)(x-x0)/3!+.....
因为f'(x0)=f"(x0)=0, 故得：
f(x)-f(x0)=f"'(x0)(x-x0)/3!+......
考虑x在x0处左右邻域，f(x)-f(x0)的符号：
不妨设f"'(x0)>0, 则在x0左邻域，f"'(x0)(x-x0)/3!<0; 在右邻域，f"'(x0)(x-x0)/3!>0, 因此在
在x0左右邻域，f(x)-f(x0)的符号由负变正，故x0不是极值点。
同样若f"'(x0)<0, 也同样得x0不是极值点。
另外，若三阶导等于0，但四阶导不等于0，则x0是极值点。
当函数二阶导数=0三阶导数不等于0，一定是拐点吗
11楼：
是的，因为当三阶导数不为0时， 二阶导数在该点的左右邻域符号就会改变，因此是拐点。
为什么如果在x0处的二阶导数为0，且三阶导数不为0，则x0一定为拐点？
12楼：匿名用户
拐点在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）
现在已经得到x0处二阶导数为0，
而三阶导数不为零，
那么无论三阶导数是正或负，
二阶导数在此点的左右领域内都会发生符号的变化，即二阶导数在此点左右领域异号，
x0一定是拐点
本题，为什么三阶导＞0，二阶导就在x0左右异号？
13楼：匿名用户
极限保号性，你3阶导数＞0，说明分母是x-xo，分子是二阶导数fx减去fxo的二阶导数，然后在xo的左领域，说明x＜xo，也就是分母＜0，那么你的分子也要＜0，才能确保整个式子＞0，同理，在xo的右领域，x＞xo，说明分母＞0，此时分子也要＞0，所以综上，左领域有fx的二阶导数＞fxo的二阶导数，右领域有fx的二阶导数＜fxo的二阶导数。异号