1楼：清溪看世界
|证明抄
：ax(bxc)=(a*c)b-(a*b)c显然ax(bxc)=ub+vc (u,v属于r)a*[ax(bxc)]=a*[ub+vc]=0ua*b+va*c=0
bx[ax(bxc)]=bx[ub+vc]=vbxc设bxc=d d与袭b垂直 令a=x1e1+x2e2+x3e3|b|e1=b |d|e2=d |bxd|e3=bxd代入得 bx(x1e1xd)=vd
由|b|x1=(a*b) 可得 v=-(a*b)代入(1)式可得 u=(a*c)
2楼：锺起云薄夏
正三向量a,b,c的双重向量积的证明方法很多,这里介绍一种比较直观的证法专。
为了证明
a×(b×c)=(a·
属c)b-(a·b)c
(1)只需证明
a~0×(b~0×c~0)=(a~0·c~0)b~0-(a~0·b~0)·c~0
(2)其中a~0,b~0,c~0为单位向量。因为若(2)成立,则在它的两边同时乘以|a|,|b|,|c|,立即得到(1)。
设三向量a,b,c都不是零向量,且b,c不共线以及a不与b,c垂直。将三向量的起点置于同一点o,b=ob和c=oc所在的平面为π,
3楼：匿名用户
数学分析的抄书上有，这袭是例题 。 其实就bai是直接算而已， 等号du两边同时除以zhic的绝对
值，那就只剩daoc的方向余弦啦 然后建立直角坐标系 使k=c的方向余弦 然后分别设a，b，a×b 的坐标，然后就直接计算好啦
4楼：匿名用户
这个是把a，b，c都写成分量的形式，然后用差乘和点乘的运算规则算出来的，
向量二重外积公式证明 5
5楼：匿名用户
正 三向量a,b,c的双重向量积的证明方法很多,这里介绍一种比较直观的证法。
为了证明 a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c (1) 只需证明 a~0×(b~0×c~0)=(a~0·c~0)b~0-(a~0·b~0)·c~0 (2) 其中a~0,b~0,c~0为单位向量。因为若(2)成立,则在它的两边同时乘以|a|,|b|,|c|,立即得到(1)。
设三向量a,b,c都不是零向量,且b,c不共线以及a不与b,c垂直。将三向量的起点置于同一点o,b=ob和c=oc所在的平面为π,
向量外积公式
6楼：闖将
i=(1,0,0)
j=(0,1,0)
k=(0,0,1)
代入公式，再作加减即可
三阶行列式方法：（仅限三阶）
沙路法：
把i，j两列重抄在整个式子右方
左上到右下各项相乘再相加
i*ay*bz+j*az*bx+k*ax*by左下到右上各项相乘再相加
bx*ay*k+by*az*i+bz*ax*j前式减后式，即为此行列式之值
7楼：匿名用户
会代数余子式行列式吗
8楼：靳璞频清润
a.b=|a|.|b|sine
9楼：钮玉芬孛辰
不需要用外积就可以求！
设三点为a、b、c,则向量ab与向量ac可求。（ab、ac、bc三个选哪两个都可以）
设这个法向量是a=（x,y,z),则有向量a点乘向量ab为0，向量a点乘向量ac为0，
则可解出向量a,这里要注意的是我们解出的a是含有一个参量的，可是是x、y、z中的任何一个，在具体题里，可以根据已知去确定把三者的哪个定为参量，假设我们解出的是a=(2y,y,3y/5),再把y赋具体的值就可以，这里可以是1，为了不出分数，也可以是5.
向量的外积表达式与方向。
10楼：匿名用户
其中i,j,k是三个单位向量.
行列式按第一行就行.
外积定义
把向量外积定义为
：符号表示：a×b
大小：|a|·|b|·sin.
方向：右手定则：若坐标系是满足右手定则的，设z=x×y,|z|=|x||y|*sin；则x,y,z构成右手系，伸开右手手掌，四个手指从x轴正方向方向转到y轴正方面，则大拇指方向即为z正轴方向。
外积的坐标表示：
（x1,y1,z1）×（x2,y2,z2）=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1）
外积的分配律a×(b+c)=a×b+a×c
分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。我们假定已经知道了：
1）外积的反对称性：
a×b=-b×a.
这由外积的定义是显然的。
2）内积（即数积、点积）的分配律：
a·（b+c)=a·b+a·c,
（a+b）·c=a·c+b·c.
这由内积的定义a·b=|a|·|b|·cos；，用投影的方法不难得到证明。
3）混合积的性质：
定义（a×b）·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：
i)(a×b）·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积 外积，其正负号由a,b,c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。
简单证明：体积v=底面积s×高h
=|a×b|×|h|
=|a×b|×|c|×(c·h)/(|c||h|)
=|a×b|×(c·h)/|h|
而|h|=|a×b|
所以v=c·h=c·(a×b）
从而就推出：
ii)(a×b）·c=a·（b×c)
所以我们可以记a,b,c的混合积为（a,b,c).
由i）还可以推出：
iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)
我们还有下面的一条显然的结论：
iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。
外积的分配律证明下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·（a×（b+c））里，交替两次利用3）的ii）、iii）和数积分配律2），就有
r·（a×（b+c))
=(r×a)·（b+c)
=(r×a）·b+(r×a）·c
=r·（a×b)+r·（a×c)
=r·（a×b+a×c)
移项，再利用数积分配律，得
r·（a×（b+c)-(a×b+a×c))=0
这说明矢量a×（b+c)-(a×b+a×c）垂直于任意一个矢量。按3）的iv），这个矢量必为零矢量，即
a×（b+c)-(a×b+a×c)=0
所以有a×（b+c)=a×b+a×c.证毕
11楼：松茸人
向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。
其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。
两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。[1]
定义向量积可以被定义为：。
模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）
方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：
若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）
也可以这样定义（等效）：
向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin
即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。
*运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。[1]
坐标运算
设=（），=（）。i，j，k分别是x，y，z轴方向的单位向量，则[1]：
a×b=（-）i+（-）j+（-）k，为了帮助记忆，利用三阶行列式，写成det
证明为了更好地推导，我们需要加入三个轴对齐的单位向量i，j，k。
i，j，k满足以下特点：
i=jxk；j=kxi；k=ixj；
kxj=–i；ixk=–j；jxi=–k；
ixi=jxj=kxk=0；（0是指0向量）
由此可知，i，j，k是三个相互垂直的向量。它们刚好可以构成一个坐标系。
这三个向量的特例就是i=（1，0，0）j=（0，1，0）k=（0，0，1）。
对于处于i，j，k构成的坐标系中的向量u，v我们可以如下表示：
u=xu*i+yu*j+zu*k；
v=xv*i+yv*j+zv*k；
那么uxv=（xu*i+yu*j+zu*k）x（xv*i+yv*j+zv*k）
=xu*xv*（ixi）+xu*yv*（ixj）+xu*zv*（ixk）+yu*xv*（jxi）+yu*yv*（jxj）+yu*zv*（jxk）+zu*xv*（kxi）+zu*yv*（kxj）+zu*zv*（kxk）
由于上面的i，j，k三个向量的特点，所以，最后的结果可以简化为
uxv=（yu*zv–zu*yv）*i+（zu*xv–xu*zv）*j+（xu*yv–yu*xv）*k。[1]
与数量积的区别
注：向量积≠向量的积（向量的积一般指点乘）
一定要清晰地区分开向量积（矢积）与数量积（标积）。见下表。
几何意义及其运用
叉积的长度|a×b|可以解释成这两个叉乘向量a，b共起点时，所构成平行四边形的面积。据此有：混合积[abc]=（a×b）·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。[1]
代数规则
1、反交换律：a×b=-b×a
2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。
3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。
4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。
5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的r3构成了一个李代数。
6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。[1]
拉格朗日公式
这是一个著名的公式，而且非常有用：
（a×b）×c=b（a·c）-a（b·c）
a×（b×c）=b（a·c）-c（a·b）
证明过程如下：
二重向量叉乘化简公式及证明
可以简单地记成“bac-cab”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。
这里给出一个和梯度相关的一个情形：
这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解的特殊情形。
另一个有用的拉格朗日恒等式是：
这是一个在四元数代数中范数乘法|vw|=|v||w|的特殊情形。[2]
矩阵形式
给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：
i×j=k；
j×k=i；
k×i=j；
通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设
a=[a1，a2，a3]=a1i+a2j+a3k；
b=[b1，b2，b3]=b1i+b2j+b3k；
则a×b=[a2b3-a3b2，a3b1-a1b3，a1b2-a2b1]。
叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量[a1，a2，a3]表示成四元数a1i+a2j+a3k，两个向量的叉积可以这样计算：
计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参看四元数（空间旋转）。[2]
高维情形
七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。
七维叉积具有与三维叉积相似的性质：
双线性性：x×（ay+bz）=ax×y+bx×z；（ay+bz）×x=ay×x+bz×x；
反交换律：x×y+y×x=0；
同时与x和y垂直：x·（x×y）=y·（x×y）=0；
拉格朗日恒等式：|x×y|=|x||y|-（x·y）；
不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：x×（y×z）+y×（z×x）+z×（x×y）≠0。
希望我能帮助你解疑释惑。
用二重积分定义证明,用定义证明二重积分的可加性
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高数二重积分利用性质证明题,高数二重积分，来个性质1的例题？ 20
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