1楼：海绵宝宝板砖
数学归纳法解题
数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.
●难点磁场
(★★★★)是否存在a、b、c使得等式122+232+…+n(n+1)2= (an2+bn+c).
●案例**
〔例1〕试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈n*且a、b、c互不相等时，均有：an+**＞2bn.
命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.
知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.
错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.
技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞akc+cka.
证明：(1)设a、b、c为等比数列，a= ,c=bq(q＞0且q≠1)
∴an+**= +bnqn=bn( +qn)＞2bn
(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想 ＞( )n(n≥2且n∈n*)
下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴
②设n=k时成立，即
则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)
＞ (ak+1+ck+1+akc+cka)= (ak+ck)(a+c)
＞( )k( )=( )k+1
〔例2〕在数列中，a1=1，当n≥2时，an,sn,sn－ 成等比数列.
(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论；
(3)求数列所有项的和.
命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.
知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.
错解分析：(2)中，sk=－ 应舍去，这一点往往容易被忽视.
技巧与方法：求通项可证明是以为首项， 为公差的等差数列，进而求得通项公式.
解：∵an,sn,sn－ 成等比数列，∴sn2=an(sn－ )(n≥2) (*)
(1)由a1=1,s2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－
由a1=1，a2=－ ,s3= +a3代入(*)式得：a3=－
同理可得：a4=－ ,由此可推出：an=
(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.
②假设n=k(k≥2)时，ak=－ 成立
故sk2=－ (sk－ )
∴(2k－3)(2k－1)sk2+2sk－1=0
∴sk= (舍)
由sk+12=ak+1(sk+1－ ),得(sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+sk－ )
由①②知，an= 对一切n∈n成立.
(3)由(2)得数列前n项和sn= ,∴s= sn=0.
●锦囊妙记
(1)数学归纳法的基本形式
设p(n)是关于自然数n的命题，若
1°p(n0)成立(奠基)
2°假设p(k)成立(k≥n0)，可以推出p(k+1)成立(归纳)，则p(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.
(2)数学归纳法的应用
具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈n,都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )
a.30 b.26 c.36 d.6
2.(★★★★)用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈n)第一步应验证( )
a.n=1 b.n=2 c.n=3 d.n=4
二、填空题
3.(★★★★★)观察下列式子： …则可归纳出_________.
4.(★★★★)已知a1= ,an+1= ,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________，由此猜想an=_________.
三、解答题
5.(★★★★)用数学归纳法证明4 +3n+2能被13整除，其中n∈n*.
6.(★★★★)若n为大于1的自然数，求证： .
7.(★★★★★)已知数列是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列的通项公式bn;
(2)设数列的通项an=loga(1+ )(其中a＞0且a≠1)记sn是数列的前n项和，试比较sn与 logabn+1的大小，并证明你的结论.
8.(★★★★★)设实数q满足|q|＜1,数列满足：a1=2,a2≠0,anan+1=－qn,求an表达式，又如果 s2n＜3,求q的取值范围.
参***
难点磁场
解：假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有
于是，对n=1,2,3下面等式成立
122+232+…+n(n+1)2=
记sn=122+232+…+n(n+1)2
设n=k时上式成立，即sk= (3k2+11k+10)
那么sk+1=sk+(k+1)(k+2)2= (k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2
= (3k2+5k+12k+24)
= 〔3(k+1)2+11(k+1)+10〕
也就是说，等式对n=k+1也成立.
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立.
歼灭难点训练
一、1.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
证明：n=1,2时，由上得证，设n=k(k≥2)时，
f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，则n=k+1时，
f(k+1)－f(k)=(2k+9)3k+1
2楼：电脑辐射vs致癌
我太不懂你的问题，只能找到这些了
数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显
数学上证明与自然数n有关的命题的一种方法。必须包括两步：(1)验证当n取第一个自然数值n=n1(n1=1，2或其他常数)时，命题正确；(2)假设当n取某一自然数k时命题正确，以此推出当n=k+1时这个命题也正确。
从而就可断定命题对于从n1开始的所有自然数都成立。
数学归纳法是一种数学证明方法，典型地用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。有一种用于数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式；这就是著名的结构归纳法。
http://res.shuren100.***/detail/139631
http://****ourmaths.***:8080/htmlfile/p20031117195737.htm
参考资料：http://baike.baidu.***/view/284458.htm
3楼：匿名用户
最重要的是，取n+1是得出和前一个n式子相似的n+1的式子
4楼：匿名用户
证明几何问题
用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，由k过渡到k＋1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．
说明 数学归纳法的实质：“先归纳，后演绎”．即先以特殊情况下的结论为基础，提出归纳假设，再从归纳假设通过渲绎推理证明结论的正确性．
数学大神请进！数学归纳法问题！ 第一数学归纳法和第二数学归纳法有什么区别？请大神详细说明！比如适用
5楼：匿名用户
第一归纳法是第二归纳法的特殊形式。凡事能用第一归纳法的，都可以使用第二归纳法。但是第二归纳法可以证明的，第一归纳法并不一定能证明
6楼：earth神的传说
数学归纳法是一种重要的论证方法，本文从最小数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的**数学归纳法是一种重要的论证方法。它们通常所说的“数学归纳法”大多是指它的第一种形式而言，本文想从最小数原理出发，对它的第二种形式即第二数学归纳法进行粗略的**，旨在加深对数学归纳法的认识。】
第二数学归纳法原理是设有一个与正整数n有关的命题，如果：
（1）当n=1时，命题成立；
（2）假设当n≤k（k∈n）时，命题成立，由此可推得当n=k+1时，命题也成立。
那么根据①②可得，命题对于一切正整数n来说都成立。
用反证法证明。
假设命题不是对一切自然数都成立。命n表示使命题不成立的自然数所成的集合，显然n非空，于是，由最小数原理n中必有最小数m，那么m≠1，否则将与（1）矛盾。所以m－1是一个自然数。
但m是n中的最小数，所以m－1能使命题成立。这就是说，命题对于一切≤m－1自然数都成立，根据（2）可知，m也能使命题成立，这与m是使命题不成立的自然数集n中的最小数矛盾。因此定理获证。
当然，定理2中的（1），也可以换成n等于某一整数k。
对于证明过程的第一个步骤即n=1（或某个整数a）的情形无需多说，只需要用n=1（或某个整数a）直接验证一下，即可断定欲证之命题的真伪。所以关键在于第二个步骤，即由n≤k到n=k+1的验证过程。事实上，我们不难从例1的第二个步骤的论证过程中发现，证明等式在n=k+1时成立是利用了假设条件；等式在n=k及n=k－1时均需成立。
同样地，例2也不例外，只是形式的把n=k及n=k－1分别代换成了n=k－1和n=k－2。然而例3就不同了，第二个步骤的论证过程，是把论证命题在n=k+1时的成立问题转化为验证命题在n=k－2+1时的成立问题。换言之，使命题在n=k+1成立的必要条件是命题在n=k－2+1时成立，根据1的取值范围，而命题在n=k－k+1互时成立的实质是命题对一切≤k的自然数n来说都成立。
这个条件不是别的，正是第二个步骤中的归纳假设。以上分析表明，假如论证命在n=k+1时的真伪时，必须以n取不大于k的两个或两个以上乃至全部的自然数时命题的真伪为其论证的依据，则一般选用第二数学归纳法进行论证。之所以这样，其根本原则在于第二数学归纳法的归纳假设的要求较之第一数学归纳法更强，不仅要求命题在n=k时成立，而且还要求命题对于一切小于k的自然数来说都成立，反过来，能用第一数学归纳法来论证的数学命题，一定也能用第二数学归纳进行证明，这一点是不难理解的。
不过一般说来，没有任何必要这样做。
第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同的表达形式，旨在更便于我们应用。