1楼：千山鸟飞绝
1+2+3+……+n=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)-n=3n+3n+1累加得到。
证明过程
：根据立方差公式(a+1)-a=3a+3a+1，则有：
a=1时：2-1=3×1+3×1+1
a=2时：3-2=3×2+3×2+1
a=3时：4-3=3×3+3×3+1
a=4时：5-4=3×4+3×4+1.·
·a=n时：（n+1）-n=3×n+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)-1=3（1+2+3+······+n）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）
3（1+2+3+······+n）=（n+1）-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1+2+3+······+n）=（n+1）-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1+2+3+······+n）=2（n+1)-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以1+2+······+n=n（n+1)（2n+1）/6。
2楼：我不是他舅
这个有一个专门的公式的
1+2+3+……+n=n(n+1)(2n+1)/6
可以用(n+1)-n=3n+3n+1累加得到
3楼：明凯无敌瞎
我来一个不同的：sn=1+2+3+……+nsn是一个递增函数，对sn求导=2·1+2·2+.....+2·n=n（n-1），是一个二次函数型，所以大胆猜测sn是一个三次函数型，于是假设sn=an+bn+**+d，把s1=1，s2=5，s3=14，s4=30代入sn得出四个方程式，求出sn=1/3n+1/2n+1/6n，把s5代入验证是正确的！
但毕竟是猜的，所以要证明，证明方法如下：
当n=1时此等式成立，n=2时也成立。
假设当n=k时（n>1）也成立，即
sk=1/3k+1/2k+1/6k，只需证明n=k+1时也成立即可，又sk+1-sk=（k+1），是成立的所以原等式成立。
4楼：齐峰环境
12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6,在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题,没有给出其直接的推导过程.其实,该求和公式的直接推导并不复杂,也没有超出初中数学内容.
设：s=12+22+32+…+n2
另设：s1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2,此步设题是解题的关键,一般人不会这么去设想.
有了此步设题,第一：s1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的
12+22+32+…+n2=s,(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以为(n2+2n+12)+(
n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+
12+22+32+…+n2,即
s1=2s+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)
第二：s1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：
s1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2,其中：
22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4s……………………………………..(2)
12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2
= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2
=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4s-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)
由(2)+ (3)得：s1=8s-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)
由(1)与(4)得：2s+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8s-4(1+2+3+…+n)+n
即：6s= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n
= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]
= n(2n2+3n+1)
= n(n+1)(2n+1)
s= n(n+1)(2n+1)/ 6
亦即：s=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)
以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6,其中n为最后一位自然数.
由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3,其中2n为最后一位自然数.
由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3,其中2n-1为最后一位自然数.
5楼：匿名用户
1+2+3+.+n=n（
n+1)（2n+1）/6
证明如下：
（a+1）-a=3a+3a+1（即（a+1)=a+3a+3a+1）
a=1时：2-1=3×1+3×1+1
a=2时：3-2=3×2+3×2+1
a=3时：4-3=3×3+3×3+1
a=4时：5-4=3×4+3×4+1
.a=n时：（n+1）-n=3×n+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)-1=3（1+2+3+.+n）+3（1+2+3+.+n）+（1+1+1+.+1）
3（1+2+3+.+n）=（n+1）-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1+2+3+.+n）=（n+1）-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1+2+3+.+n）=2（n+1)-3n（1+n)-2(n+1)
=(n+1)[2(n+1)-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]
=n(n+1)(2n+1)
∴1+2+.+n=n（n+1)（2n+1）/6.
6楼：心动
^1+2+3+……+n=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)-n=3n+3n+1累加得到。
1^2+2^2+3^2+..+n^2=利用立方差公式n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
拓展资料：
推导公式 n－﹙n－1﹚＝3n－3n＋1，﹙n－1﹚－﹙n－2﹚＝3﹙n－1﹚－3﹙n－1﹚＋1 写出1到n－1的式子，将这n－1个式子叠加得 n－1＝3[n＋﹙n－1﹚＋……＋2﹚]－3[n＋﹙n－1﹚＋……＋2]＋n－1 由此不难得出1＋2＋……﹙n－1﹚＝﹙n－1﹚n﹙2n－1﹚／6。
7楼：摩羯
^1^2+2^2+3^2+..+n^2=利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
8楼：紫炳廖娅芳
（n+1）=n+3n+3n+1
2-1=3×
1+3×1+1；
3-2=3×2+3×2+1；
4-3=3×3+3×3+1；
...........
以此类推，（n+1）-n=3×n+3n+1.
以上各式相加
（n+1）-1=3（1+2+3+.......+n）+3（1+2+3+........+n）+n
所以，1+2+3+.......+n=[(2n+1)(n+1)n)]/6
9楼：鲜日国汉
∵(n+1)=n+3n+3n+1,
∴2=1+3×1+3×1+1,
3=2+3×2+3×2+1,
4=3+3×3+3×3+1,
5=4+3×4+3×4+1,
6=5+3×5+3×5+1,
(n+1)=n+3×n+3×n+1,将以上个等式相加得(n+1)
=1+3×（1+2+3++n）+3n(n+1)/2+
n，即1+2+3++n=n(n+1)（2n+1）/6
1的平方加2的平方一直加到n的平方等于多少
10楼：千山鸟飞绝
1+2+3+……+n=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)-n=3n+3n+1累加得到。
证明过程：
根据立方差公式(a+1)-a=3a+3a+1，则有：
a=1时：2-1=3×1+3×1+1
a=2时：3-2=3×2+3×2+1
a=3时：4-3=3×3+3×3+1
a=4时：5-4=3×4+3×4+1.·
·a=n时：（n+1）-n=3×n+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)-1=3（1+2+3+······+n）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）
3（1+2+3+······+n）=（n+1）-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）
3（1+2+3+······+n）=（n+1）-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1+2+3+······+n）=2（n+1)-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以1+2+······+n=n（n+1)（2n+1）/6。
负3的平方减负2的平方等于多少,负1减负1等于多少。 40
1楼 苏东八小大人 你好！ 3 2 9 4 5 如果对你有帮助望点右上角采纳 负1减负1等于多少。 40 2楼 匿名用户 根据有理数加减法则 减去一个数，等于加上这数的相反数既减去负1，就等于加上负1的相反数正1 就是 1 1 1 1 0 3楼 匿名用户 你好， 1 1 1 1 0，望采纳。可以追问...
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1楼 匿名用户 答 0 3平方米 30平方分米 因为1平方米 100平方分米 2楼 敕造榮國府 0 3x100 30平方分米 2 6平方米等于多少平方米多少平方分米 3楼 sunny柔石 2 6平方米等于 2 平 方米 60 平方分米 解析 首先将2 6进行拆分成2平方米 0 6平方米，再将0 6平...
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