1楼:匿名用户
其实这个可以
bai用定积分的几何du
意义来解释,当f(x)>0,定积分的结zhi果dao为[a,b]区间内图像与x轴围成的面积回;当f(x)<0,定积分的结果答为[a,b]区间内图像与x轴围成的面积取负值。根据积分区间可加性,对一个函数f(x)在[a,b]区间上既可以取到正值,又可以取到负值,那定积分的结果为
x轴上方的面积减去x轴下方的面积。如果对函数f(x)加上绝对值就不一样了,|f(x)|一定都是大于等于零的,所以面积为x轴上方所围成的面积了。
可以举个例子,你画图试一试,对sin x在[0到2派]区间求定积分。两边就不相等,左边小于右边。
2楼:电信小子
这个不好说,例如g(x)= -10x+100 f(x)=-5x+50 a=5 b=8 自己验证
对于书上的结论要在课本里找例子最好,高数一定要学好,这在考研中占50%以上分数
请数学高手解释关于定积分性质的问题?
3楼:匿名用户
(1)这个问题可以举一个例子,f(x)为分段函数,在[-1,0]上为-1,在[0,1]为1,则两个积分就不相等了!
其实第二个和第三个问题都是一样的,微积分学第一基本定理中,积分上限函数代表的意思是求在区间[a,x]上f(x)的原函数,也就是f(x)-f(a),即f(x)-f(a)求导等于函数f(x)!
4楼:匿名用户
1.首先、你的推论2不是在条件在区间〔a.b〕上,f(x)≥0下讲述的
第二、定积分 ∫(上b下a)f(x)dx并不是表示曲线y=f(x)、x=a、x=b、y=0围成的图形的面积,它表示的值是四者围成的图形中在y=0上方的图形总面积减去其位于y=0下方的图形总面积的值。而 ∫(上b下a)∣∣f(x)∣dx 才是表示曲线y=f(x)、x=a、x=b、y=0围成的图形的面积。所以只要y=f(x)有小于0的部分就有 ∣ ∫(上b下a)f(x)dx∣≤ ∫(上b下a)∣∣f(x)∣dx
关于定积分有如下几何意义:如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分∫ baf(x)dx
5楼:匿名用户
在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分∫ baf(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.故答案为:b.0.在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分∫ baf(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.故答案为:
b.0.在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分∫ baf(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.故答案为:b.
0.在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分∫ baf(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.故答案为:b.0.在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分∫ baf(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.故答案为:
b.0.
定积分定义
6楼:穆子澈想我
定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式),其它一点关系都没有!
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
定积分性质
1、当a=b时,
2、当a>b时,
3、常数可以提到积分号前。
4、代数和的积分等于积分的代数和。
5、定积分的可加性:如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
又由于性质2,若f(x)在区间d上可积,区间d中任意c(可以不在区间[a,b]上)满足条件。
6、如果在区间[a,b]上,f(x)≥0,则
7、积分中值定理:设f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点ε在(a,b)内使
7楼:纵横竖屏
设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], ..., (xn-1,xn],其中x0=a,xn=b。
其中:a叫做积分下限,b叫做积分上限,区间[a, b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积表达式,∫ 叫做积分号。
扩展资料:
定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。
这里应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值(曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式),其它一点关系都没有!
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而不存在不定积分。一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
一般定理:
定理1:设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积。
定理2:设f(x)区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积。
定理3:设f(x)在区间[a,b]上单调,则f(x)在[a,b]上可积。
牛顿-莱布尼茨公式
定积分与不定积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是:
用文字表述为:一个定积分式的值,就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。
正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。
8楼:吉俭门巳
定积分是以平面图形的面积问题引出的。如右上图,y=f(x)为定义在[a,b〕上的函数,为求由x=a,x=b,y=0和y=f(x)所围图形的面积s,采用古希腊人的穷竭法,先在小范围内以直代曲,求出s的近似值,再取极限得到所求面积s,为此,先将[a,b〕分成n等分:a=x0 把这一类问题的思想方法抽象出来,便得定积分的概念:对于定义在[a,b〕上的函数y=f(x),作分划a=x0 这是c牛顿莱布尼兹公式。 9楼:赛士恩光雀 定积分正式名称是黎曼积分,是一个数学定义。分划的参数趋于零时的极限,叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。 不定积分是一组导数相同的原函数,定积分则是一个数值。求一个函数的原函数,叫做求它的不定积分;求一个函数相应于闭区间的一个带标志点分划的黎曼和关于这个分划的参数趋于零时的极限,叫做这个函数在这个闭区间上的定积分。 不定积分(indefinite integral) 即已知导数求原函数。若 f′(x)=f(x),那么[ f(x)+c]′=f(x).(c∈ r).也就是说,把f(x)积分,不一定能得到 f(x),因为 f(x)+c的导数也是f(x)(c是任意常数)。所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的。我们一律用 f(x)+c代替,这就称为不定积分。即如果一个导数有原函数,那么它就有无限多个原函数。 定积分(definite integral) 定积分就是求函数f(x)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(x)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形。 10楼:匿名用户 定积分 (definite integral) 定积分就是求函数f(x)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(x)所围成图形的面积。 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], ..., (xn-1,xn],其中x0=a,xn=b。可知各区间的长度依次是:△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, ..., △xn=xn-xn-1。 在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi(1,2,...,n),作和式 。设λ=max(即λ是最大的区间长度),则当λ→0时,该和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分,记为 :其中:a叫做积分下限,b叫做积分上限,区间[a, b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积表达式,∫ 叫做积分号。 之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数, 而不是一个函数 11楼:匿名用户 1/3*b^3+b-(1/3*a^3+a) 12楼:龚梅年芝 定义:设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干分点,a=x0区间[a,b]分成n个小区间,各个小区间的长度为δxi=xi-x(i-1)(这里i-1为下标,而且i为小于等于n的正整数),在各个小区间上任取一点ξi(ξi∈δxi),做乘积f(ξi)δx并做和∑(n, i=1)f(ξi)δx 记λ=max, 如果不论多[a,b]如何分也不论ξi取δxi中的何位置,只要当λ->0时,和s总趋于确定的极限,这个极限便是f(x)在区间[a,b]上的定积分,记为 解释:因为定积分可以看为一个曲边梯形的面积 将一个曲边梯形梯形的面积分为n个长方形计算,其中,每一个长方形的底为δxi,该长方形的高通过对应法则(即y轴上的投影)为f(ξi),则长方形的面积就应该是f(ξi)δx,曲边梯形的面积近似值就是∑(n, i=1)f(ξi)δx 这时,如果我们取λ=max中的最大值而且将它趋于零,意味着所有的元素都应该趋于零(最大值趋于零看成其他数值的低阶无穷小理解),那么面积的值将越来越精确。(趋于零,这里长方形的宽越来越小(可以理解为有面积的线段之和)),根据极限的定义,可以写成一个和的极限形式,这便是定积分的概念 当δxi越来越小的时候,面积表示越来越精确 此外,题主给出的题目答案为:-1/6,可以先求t(t-1)的原函数,即为(t^3)/3-(t^2)/2,代入积分上下线相减得到结果-1/6 这里使用到了牛顿莱布尼茨公式。如果要用定积分的定义求,会相对比较麻烦。