1楼:匿名用户
这样a与b的ε=(b-a)/2邻域正好无交集,取得更小点也行,但最大只能取这个,否则两个邻域的交非空,证不出
求证极限唯一性,为什么取ε=(b-a)/2
2楼:pasirris白沙
1、楼上网友的回答,虽然是对的,但是说得太轻松了。
无论说得是多么轻飘飘,还是多么文绉绉,都给人雾煞煞的感觉。
从微积分教学开始,我们就陷入的这种境地:不得要领。
.2、假设楼主已经完全领略了极限证明背后的严密逻辑思维与论证方法,就知道 :
a、ε 具有任意性,可以无止境的更改、修正。
b、由于 ε 具有任意性,由 ε 决定的 n 也就有了任意性:
一方面,将 n 任意地放大后,依然还是 n;
另一方面,将 ε 任意缩小后算出 n,就更符合要求。
.3、下面的**就是将 ( b - a )/2 缩小到 ( b - a )/3, 一样得到结论。
请参看:..
3楼:持笔杆的魔法师
这并不是说它不能取其他值了,它可以取任意大于零的数。但是,在证明极限唯一性的时候,我们为了方便计算,所以才取的这个值。
4楼:浅草丶若相念
因为用的是反证法,所以只要有一个反例就行
5楼:风火淬钢
它可以取任何数,取这个只是为了方便证明
用反证法证明极限的唯一性时,为什么取ε=(b-a)/2
6楼:angela韩雪倩
具体原因如下:
证明如下:
假设存在a,b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限,且a据极限的柯西定义,有如下结论:
任意给定ε>0(要注意,这个ε是对a,b都成立)。
总存在一个δ1>0,当0《丨x-x。丨<δ1时,使得丨f(x)-a丨<ε成立。
总存在一个δ2>0,当0《丨x-x。丨<δ2时,使得丨f(x)-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等价变换为a-ε令δ=min,当0《丨x-x。丨<δ时。1,2两个不等式同时成立。
因为1,2两个不等式同时成立,所以1式右端必定大于或等于2式左端。
即:b-ε≤a+ε,移项得:(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数,所以这个结论与极限的定义:
ε可以任意小矛盾,所以假设不成立,因此不存在a,b两个数都是f(x)的极限,除非a=b矛盾才不会出现。
倘若是x趋于无穷大时的唯一性证明可以参看高数书数列极限唯一性证明,证法完全一样。
证毕。扩展资料:
反证法的逻辑原理是逆否命题和原命题的真假性相同。
实际的操作过程还用到了另一个原理,即:
原命题和原命题的否定是对立的存在:原命题为真,则原命题的否定为假;原命题为假,则原命题的否定为真。
若原命题:
为真先对原命题的结论进行否定,即写出原命题的否定:p且q。
从结论的反面出发,推出矛盾,即命题:p且q 为假(即存在矛盾)。
从而该命题的否定为真。
再利用原命题和逆否命题的真假性一致,即原命题:pq为真。
误区:否命题与命题的否定是两个不同的概念。
命题的否定只针对原命题的结论进行否定。而否命题同时否定条件和结论:
原命题:pq;
否命题:pq;
逆否命题:qp;
命题的否定:p且q。
原命题与否命题的真假性没有必然联系,但原命题和原命题的否定却是对立的存在,一个为真另一个必然为假。
已知某命题:若a,则b,则此命题有4种情况:
1.当a为真,b为真,则ab为真,得ba为真;
2.当a为真,b为假,则ab为假,得ba为假;
3.当a为假,b为真,则ab为真,得ba为真;
4.当a为假,b为假,则ab为真,得ba为真;
∴一个命题与其逆否命题同真假。
即反证法是正确的。
假设b,推出a,就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的。
但实际推证的过程中,推出a是相当困难的,所以就转化为了推出与a相同效果的内容即可。这个相同效果就是与a(已知条件)矛盾,或是与已知定义、定理、大家都知道的事实等矛盾。
7楼:林清他爹
我告诉你怎么来的
证明如下:
假设存在a,b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限,且a,根据极限的柯西定义,有如下结论:
任意给定ε>0(要注意,这个ε是对a,b都成立)。
总存在一个δ1>0,当0《丨x-x。丨<δ1时,使得丨f(x)-a丨<ε成立。
总存在一个δ2>0,当0《丨x-x。丨<δ2时,使得丨f(x)-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等价变换为a-ε 令δ=min,当0《丨x-x。丨<δ时。1,2两个不等式同时成立。 因为1,2两个不等式同时成立,所以1式右端必定大于或等于2式左端。 即:b-ε≤a+ε,移项得:(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数,所以这个结论与极限的定义: ε可以任意小矛盾,所以假设不成立,因此不存在a,b两个数都是f(x)的极限,除非a=b矛盾才不会出现。 倘若是x趋于无穷大时的唯一性证明可以参看高数书数列极限唯一性证明,证法完全一样。证毕。 8楼:匿名用户 这样a与b的ε=(b-a)/2邻域正好无交集,取得更小点也行,但最大只能取这个,否则两个邻域的交非空,证不出 证明收敛数列唯一性时,为什么取ε=(b-a)/2 9楼:蹋花同惜 并不是一开始就假设ε 而是先假设(1)limxn=a 与(2)limxn=b同时成立(a小于b) 也就是有两个极限 得到a+ε或=b-ε时即可 所以可取a+ε=b-ε 此时ε=1/2(b-a)ε>0 ε存在 所以(1)(2)不能同时成立 唯一性即证 10楼:一步一步沉淀 ε=(b-a)/3也行 极限唯一性反证法证明时,为什么e取二分之b减a,思路怎么来的呢??? 11楼:匿名用户 ||是|(b-a)/2**是什么你看好了. 假设limxn=a,那么存在n1,当n>n1时|xn-a|n2时|xn-b|n时,上面两个回不等式都成立答 于是|b-a|=|(xn-a)-(xn-b)|≤|xn-a|+|xn-b|<2e 即对任意e>0,当n>n时,(b-a)/2 12楼:匿名用户 利用绝对值不等式造矛盾 b-a=|a-b|≤|x-a|+|x-b| (*) 假如取ε=(b-a)/2 因为n>n1时|xn-a|n2时|xn-b|n=max(n1,n2)时 有 |xn-a| 用反证法证明极限唯一性 13楼:匿名用户 解:设极限为baia,回忆一du下极限定义,任取εzhi>0,存在n>0,当n>n时,有dao |xn-a|<ε 证明极限唯一性,假专设有两个极限a,b,且属a>b 取ε=(a-b)/2, 存在n1,当n>n1时,有 |xn-a|<(a-b)/2 (1) 存在n2,当n>n2时,有 |xn-b|<(a-b)/2 (2) 取n=max,则当n>n时,上面两式同时成立 (1)可化为:(b-a)/2(a+b)/2,另一个是xn<(a+b)/2 因此极限唯一。 14楼:匿名用户 若极限不唯一,设他们差的绝对值为a 则存在正实数e<=a 使函数与其中一个极限的差值始终大于e 矛盾证毕 证明收敛数列的极限唯一时,为什么取ε=b-a/2或更小,若取ε大于b-a/2有何 15楼: 这样a与b的ε=(b-a)/2邻域正好无交集,取得更小点也行,但最大只能取这个,否则两个邻域的交非空,证不出 1楼 安克鲁 楼主之所以问出这样的问题，说明了两个方面 1 楼主是喜欢思考的人，不是人云亦云 不知所云的人 2楼 拿数列极限来讲 lim xn a 对于任意的 0 存在正整数n 当n n时 有 xn a 。 例子 函数极限定义中的 和 是双射 一一映射 吗对任意给定的 存在 0 当0 函数极限定义中...函数极限中的为什么可以任意给定,为什么证明数列极限的时候要取任意给定的ε，而不取某个ε?