1楼：匿名用户
（1）在底面四边形abcd中，
∵∠b=∠c=90°，
∴ab∥ cd ，
在pa上取点f，使pa=4pf，
连接fm，mc，fd，
在△pab中，
∵pf pa
=pmpb
=1 4
．∴mf∥ .
.1 4
∵pc⊥平面abcd
，∴∠pbc是直线pb与平面abcd所成的角，∴∠pbc=30°，
∵pc=2，
∴bc=2 3
，分别以cd，cb，cp为x，y，z轴，c为原点建立空间直角坐标系，则c（0，0，0），b（0，2 3
，0），a（4，2 2
，0），d（1，0，0），p（0，0，2），设e为pa的中点，则e（2， 3
，1）， eb
=(2， 3
，-1) ， ap
=(-4，-2 3
，2) ， pd
=(1，0，-2) ，∴
eb ?
ap=(-2)×(-4)+ 3
×(-2 3
)+(-1)×2=0 ， eb
? pd
=(-2)×1+ 3
×0+(-1)× （-2）=0，
∴eb⊥ap，eb⊥pd，
∴eb⊥平面pad，
∵eb?平面pab，
∴平面pab⊥平面pad．
（3）作mg⊥平面pad，垂足为g
∵平面pab⊥平面pad，m∈平面pab
∴g∈pa=平面pab∩平面pad
由（2）可知：| eb
|=(-2)
2 +( 3
)2+(-1)2
=2 2
，又由be⊥pa，mg⊥pa．
知△pmg∽ △pbe，∴
pm pb
=mgbe
= 22 2
=1 2
，∴此时点m在pb的中点上．
如图所示，在四棱锥p-abcd中，pc⊥平面abcd，pc=2，在四边形abcd中，∠b=∠c=90°，ab=4，cd=1，点m在pb
2楼：谢小盟
以点c为空间直角坐标系的坐标原点，cb为x轴，cd为y轴，cp为z轴建如图所示的空间直角坐标系c-xyz，（1）证明：∵pc⊥平面abcd，∴∠pbc为pb与平面abcd成的角，∴∠pbc=30°．
∵pc=2，∴bc=2
3，pb=4，∴d（0，1，0），b （23，0，0），a（2
3，4，0），p（0，0，2），m（3
2，03
2）．∴
dp=（0，-1，2），
da=（2
3，3，0），
cm=（
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四棱锥p—abcd中，pc⊥平面abcd，pc=2，在四边形abcd中，∠b=∠c=90°，cd‖ab，ab=4，cd=1，点m在pb上，
3楼：聖の殇
解：如图，建立空间直角坐标系o-xyz，c为坐标原点o，
（1）证明：如图，建立空间直角坐标系．
∵pc⊥平面abcd，
∴∠pbc为pb与平面abc所成的角，即∠pbc=30°．
∵|pc|=2，∴|bc|=23，|pb|=4．
得d（1，0，0）、b（0，23，0）、
a（4，23，0）、p（0，0，2）．
∵|mb|=3|pm|，
∴|pm|=1，m（0，32，32），cm→=（0，32，32），
dp→=（-1，0，2），da→=（3，23，0）．
设cm→=xdp→+yda→（x、y∈r），
则（0，32，32）=x（-1，0，2）+y（3，23，0）x=34且y=14，
∴cm→=34dp→+14da→．
∴cm→、dp→、da→共面．又∵c平面pad，故cm∥平面pad．
（2）证明：过b作be⊥pa，e为垂足．
∵|pb|=|ab|=4，∴e为pa的中点．
∴e（2，3，1），be→=（2，-3，1）．
又∵be→da→=（2，-3，1）（3，23，0）=0，
∴be→⊥da→，即be⊥da．
而be⊥pa，∴be⊥面pad．
∵be面pab，∴面pab⊥面pad．
（3）解：由be⊥面pad知，
平面pad的单位向量n0=be→|be→|=122（2，-3，1）．
∴cd=（1，0，0）的点c到平面pad的距离
d=|n0cd→|=|122（2，-3，1）（1，0，0）|=22．
四棱锥p-abcd中，pc⊥平面abcd，pc=2，在四边形abcd中，∠b=∠c=90°，cd ∥ ab，ab=4，cd=1，点m在pb上
4楼：托尼粉丝团
如图，建立空
间直角坐标系o-xyz，c为坐标原点o，（1）证明：如图，建立空间直角坐标系．
∵pc⊥平面abcd，
∴∠pbc为pb与平面abc所成的角，即∠pbc=30°．∵|pc|=2，∴|bc|=2 3
，|pb|=4．
得d（1，0，0）、b（0，2 3
，0）、
a（4，2 3
，0）、p（0，0，2）．
∵|mb|=3|pm|，
∴|pm|=1，m（0， 3
2，3 2
）， cm
=（0， 3
2，3 2
）， dp
=（-1，0，2）， da
=（3，2 3
，0）．设
cm=x dp
+y da
（x、y∈r），
则（0， 3
2，3 2
）=x（-1，0，2）+y（3，2 3
，0）?x=3 4
且y=1 4
，∴ cm
=3 4
dp+1 4
da．∴ cm
、 dp
、 da
共面．又∵c?平面pad，故cm∥ 平面pad．（2）证明：过b作be⊥pa，e为垂足．
∵|pb|=|ab|=4，∴e为pa的中点．∴e（2， 3
，1）， be
=（2，- 3
，1）．又∵
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（2014?温州二模）如图，在四棱锥p-abcd中，pa⊥平面abcd，四边形abcd为平行四边形，ab=1，bc=2，∠abc=4
5楼：越越越夜
2，∠abc=45°，∴ab⊥ac…（2分）∵pa⊥平面abcd，∴pa⊥ab，又∵ac∩ap=a∴ab⊥平面pac，又∵ab∥cd
∴cd⊥平面pac，∴cd⊥ae…（4分）又∵ae⊥pc，又∵pc∩cd=c
∴ae⊥平面pcd…（6分）
又∵ae?平面aeb
∴平面aeb⊥平面pcd…（7分）
（ii）解法一：∵ab⊥平面pac，ab?平面aeb，∴平面aeb⊥平面pac，又∵二面角b-ae-d的大小为150°．∴二面角c-ae-d的大小等于150°-90°=60°．…（10分）又∵ae⊥平面pcd，∴ce⊥ae，de⊥ae，∴∠ced为二面角c-ae-d的平面角，即∠ced=60°．…（12分）
∵cd=1，∠ecd=90°，∴ce＝33∴ceac
＝accp
，即cp＝acce＝
3，∴tan∠pdc＝pccd＝
3，∴∠pdc=60°．…（14分）
（ⅱ）解法二：如图，以a为原点，ab，ac，ap所在射线为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系
a-xyz，设ap=t，a（0，0，0），b（1，0，0），c（0，1，0），d（-1，1，0），p（0，0，t）．
∵ab⊥pc，ae⊥pc，∴pc⊥平面abe，∴平面abe的一个法向量为n＝
pc＝(0，1，?t)．…（9分）
∵ae⊥pc，∴ae＝t
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如图，在四棱锥p-abcd中，pa⊥平面abcd，四边形abcd为平行四边形，ab=1，ac=1，bc=2，点e在pc上，ae⊥pc
6楼：手机用户
（ⅰ）证明：连结ac，∵pa⊥平面abcd，ab?平面abcd，ac?平面abcd，
∴pa⊥ab，pa⊥ac，
∵四边形abcd为平行四边形，ab=1，ac=1，bc=2，∴ab⊥ac，
∵pa∩ac=a，∴
ab⊥平面pac，
∵pc?平面pac，∴ab⊥pc，
∵点e在pc上，ae⊥pc，
∵ab∩ae=a，∴pc⊥平面abe．
（ⅱ）解：以a为原点，ab为x轴，ac为y轴，ap为z轴，建立空间直角坐标系，
∵ab=1，ac=1，bc=
2，∠pdc=60°，
∴pd=2，pc=
3，pa=2，
∴a（0，0，0），b（1，0，0），p（0，0，2），c（0，1，0），d（-1，1，0），∴ab=（1，0，0），
ad＝(?1，1，0)，
pc＝(0，1，?2)，
设pe＝λpc
＝(0，λ，?
2λ)，则e（0，λ，2?
2λ），∴ae
＝(0，λ，2?
2λ)，
∵ae⊥pc，∴ae?
pc=λ-2+2λ=0，解得λ＝23．∴
ae＝(0，23，
23)，设平面abe的法向量
n＝(x，y，z)，则