1楼：匿名用户
证明如下：
假设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a西定义，有如下结论：
任意给定ε>0（要注意，这个ε是对a，b都成立）。
总存在一个δ1>0，当0《丨x-x。丨<δ1时，使得丨f（x）-a丨<ε成立。
总存在一个δ2>0，当0《丨x-x。丨<δ2时，使得丨f（x）-b丨<ε成立。
上面的不等式可以等价变换为a-ε 令δ=min，当0《丨x-x。丨<δ时。①，②两个不等式同时成立。 因为①，②两个不等式同时成立，所以①式右端必定大于或等于②式左端。 即：b-ε≤a+ε，移项得：(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义： ε可以任意小矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。 倘若是x趋于无穷大时的唯一性证明可以参看高数书数列极限唯一性证明，证法完全一样。 用反证法证明极限的唯一性时，为什么取ε=(b-a)/2 2楼：angela韩雪倩 具体原因如下： 证明如下： 假设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a据极限的柯西定义，有如下结论： 任意给定ε>0（要注意，这个ε是对a，b都成立）。 总存在一个δ1>0，当0《丨x-x。丨<δ1时，使得丨f（x）-a丨<ε成立。 总存在一个δ2>0，当0《丨x-x。丨<δ2时，使得丨f（x）-b丨<ε成立。 上面的不等式可以等价变换为a-ε令δ=min，当0《丨x-x。丨<δ时。①，②两个不等式同时成立。 因为①，②两个不等式同时成立，所以①式右端必定大于或等于②式左端。 即：b-ε≤a+ε，移项得：(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义： ε可以任意小矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。 倘若是x趋于无穷大时的唯一性证明可以参看高数书数列极限唯一性证明，证法完全一样。 证毕。扩展资料： 反证法的逻辑原理是逆否命题和原命题的真假性相同。 实际的操作过程还用到了另一个原理，即： 原命题和原命题的否定是对立的存在：原命题为真，则原命题的否定为假；原命题为假，则原命题的否定为真。 若原命题： 为真先对原命题的结论进行否定，即写出原命题的否定：p且q。 从结论的反面出发，推出矛盾，即命题：p且q 为假（即存在矛盾）。 从而该命题的否定为真。 再利用原命题和逆否命题的真假性一致，即原命题：pq为真。 误区：否命题与命题的否定是两个不同的概念。 命题的否定只针对原命题的结论进行否定。而否命题同时否定条件和结论： 原命题：pq； 否命题：pq； 逆否命题：qp； 命题的否定：p且q。 原命题与否命题的真假性没有必然联系，但原命题和原命题的否定却是对立的存在，一个为真另一个必然为假。 已知某命题：若a，则b，则此命题有4种情况： 1.当a为真，b为真，则ab为真，得ba为真； 2.当a为真，b为假，则ab为假，得ba为假； 3.当a为假，b为真，则ab为真，得ba为真； 4.当a为假，b为假，则ab为真，得ba为真； ∴一个命题与其逆否命题同真假。 即反证法是正确的。 假设b，推出a，就说明逆否命题是真的,那么原命题也是真的。 但实际推证的过程中，推出a是相当困难的，所以就转化为了推出与a相同效果的内容即可。这个相同效果就是与a（已知条件）矛盾，或是与已知定义、定理、大家都知道的事实等矛盾。 3楼：林清他爹 我告诉你怎么来的 证明如下： 假设存在a，b两个数都是函数f(x)当x→x。的极限，且a，根据极限的柯西定义，有如下结论： 任意给定ε>0（要注意，这个ε是对a，b都成立）。 总存在一个δ1>0，当0《丨x-x。丨<δ1时，使得丨f（x）-a丨<ε成立。 总存在一个δ2>0，当0《丨x-x。丨<δ2时，使得丨f（x）-b丨<ε成立。 上面的不等式可以等价变换为a-ε 令δ=min，当0《丨x-x。丨<δ时。①，②两个不等式同时成立。 因为①，②两个不等式同时成立，所以①式右端必定大于或等于②式左端。 即：b-ε≤a+ε，移项得：(b-a)/2≤ε,因为(b-a)/2是一个确定大小的正数，所以这个结论与极限的定义： ε可以任意小矛盾，所以假设不成立，因此不存在a，b两个数都是f（x）的极限，除非a=b矛盾才不会出现。 倘若是x趋于无穷大时的唯一性证明可以参看高数书数列极限唯一性证明，证法完全一样。证毕。 4楼：匿名用户 这样a与b的ε=(b-a)/2邻域正好无交集，取得更小点也行，但最大只能取这个，否则两个邻域的交非空，证不出 高数中关于函数极限的保号性证明的问题。 如图为什么让ε=a/2,ε在定义中不是说过 5楼：匿名用户 需要区分情况。 ①如果是【证】极限，ε必须是任取的。 ②本问题中，已知极限存在，即已满足极限定义，即对任取的ε，极限定义语都成立， 因此对具体取定的ε=a/2也成立， 这是【用】极限。 另，在定理3中，当a>0时，如果取ε=a/3，则得到f(x)>2a/3>0， 在此关键是得到f(x)>0，而不是f(x)具体大于几。 p37定理高数中关于函数极限的保号性证明的问题。 如图为什么让ε=a/2,ε在定义中不是说过
10 6楼：匿名用户 要明白，这里不是为了验证这个函数有没有极限，在这里，已经实事先设定函数是有极限的。现在是在有极限的情况下，证明局部保号。所谓局部保号，是说如果极限点的极限不是0的话，说在极限点附近的某个小区域（局部）内，符号和极限点的极限符号相同。 所以我们只要找到这样一个局部，就证明了这个定理了。至于除了这个局部，还有没有其他的局部也符合要求，无所谓了，反正找到一个就行了。 而既然ε是任意的，那么我们完全可以人为的取一个ε=a/2来找寻这个局部。 当然ε=a/3，ε=a/4，ε=a/5等等，都能证明。但是只要在这些中间随便选一个就行了，不用一一都带入。 你觉得取ε=a/2不爽，想取ε=a/3，ε=a/4等等，随便啊，可以取那些值，反正大于a/2的ε就不行了，无法保证这样的局部都是保号的了。 7楼：再看见他 ε是可以任取的，你想取ε/3也可以。 这里讨论的是存在性问题，又不是普遍性问题。是存在一个小区间使得f(x)>a/2，但是每个区间都大于a/2。而且这个区间的范围还是跟ε的取值有关的，你的ε变了，这个区间的范围也变了。 8楼：匿名用户 是可以任取的。并且在高等数学中，∑是任意小的一个数，因为a是不确定的，但是可以存在一个a等于∑，那么a/2就是比任意小还小的一个数。你的问题中，a/3是不是比a/2还小呢？ 那f(x)肯定可以大于a/3.但是在某些时候取a/2是为了计算方便。(那个符号实在找不到，用了连加符号) 关于“复合函数的极限运算法则”证明过程的几个疑问(证明过程详见高等数学第五版p48） 9楼： 答：对于问题1：②中为什么一定要是“对于上面得到的η>0”？ 高等数学中函数极限的定义都是由 “ε-δ”语言描述的，例如：函数f（x）在x0处的极限定义：任取ε>0,存在δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-a|<ε成立，则f（x）在x0处的极限为a。 这个定义简单来说：符合“ε-δ”语言，则函数的极限为a 注意：这个定义反过来讲也是对的：如果“f（x）在x0处的极限为a”，那么 “任取ε>0,存在δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-a|<ε成立”。 简单说来，就是函数极限为a，则符合“ε-δ”语言 在“复合函数的极限运算法则”的证明过程中，其实是反复的将这个定义，正的用，反的用。 要证复合函数的极限，就相当去证明这个命题：任取ε>0,存在δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时，|f[g(x)]-a|<ε成立；是一个真命题就可以了。 开始证明： 由于lim(u→u0)f(u)=a，任取ε>0，都存在η>0,当0<|u-u0|<η时，|f(u)-a|<ε成立——① 又由于lim(x→x0)g(x)=u0,对于上面得到的η>0，存在δ1>0，使得当0<|x-x0|<δ1时，|g(x)-u0|<η成立——② 这两句话都是将函数极限的定义反着用：函数极限为a，则符合“ε-δ”语言。 在②中出现η它的含义与“ε-δ”语言中的ε都是一样的，都表示无穷小的数，在函数极限的极限定义中也一定要大于0。 同样表示无穷小为什么写不同的字母呢？ 原因关键在于：用“ε-δ”语言证明函数的极限时，不同的函数在极限证明中，用到的ε（无穷小）会不相同的。①②中是对不同的函数而言的，因此无穷小需要用不同的字母表示 对于问题（2）“由假设...成立”怎么就推出了后面的“|f[g(x)]-a|=|f(u)-a|<ε成立”？ “由假设...成立”这里的假设就是：复合函数极限运算法则 的前提条件。 准确的我写不出，自己在书上看吧 高数函数极限局部保号性证明中ε =a/2，若取2a就得f(x)>-a，就不能说f(x)>0了是不是？（见补充） 10楼：匿名用户 我的理解是，这个证明是严密的，它的重点是要说明存在常数δ，就是找到一个δ就叫做存在。证明的过程就是在说明他找到了那一个δ，怎么说明的呢？因为函数有极限，所以根据ε-δ定义，δ=f(ε),这里的ε是指小正数，关键在于一个小字，如果你取 了2a，那么他也许就不够小了，证明给的是取a的一半，然后根据ε与δ之间的关系，必然存在一个δ可使结论成立，当然这里ε的取值可以有很多，但是没有必要把所有的成立的ε取值都列出来，因为关键只要找到一个δ，就叫做存在δ了。 不知道我这么说能不能帮到你，至于a=0时，这个定理就没有意义了，为什么叫保号定理？保号保号，保的就是x0附近很小一个空心领域内所有点的符号，保证这些点的符号都跟a的符号一致，才叫保号嘛，等于0就没有符号而言了。 当然以上是我个人见解，不到之处还请见谅。 11楼：千叶郎君 上面的仁兄描述比较完整，但我觉得可以精练一下。 一、这个证法很严密。 如果你是学《数学分析》的话，“缺什么东西就去想法找一个”这种想法是司空见惯的，思维一定要“大胆活跃”。 完全是利用ε-δ语言（逆向运用）来证明的。 只是你已经习惯了“任意ε>0，去找一个δ使当0<|x-x‘|<δ成立时，|f(x)-a|<ε，”从而证明极限的思考模式。 现在已知极限，那么也就是说对“任意一个ε>0，都会有相应的δ，使当0<|x-x‘|<δ成立时， |f(x)-a|<ε”。所以我就取这个任意的ε为a/2，带入上面的关系得到保号性。 当然你也可以取ε为2a，只不过得到f(x)的范围更大，不能说明“保号性”，但并不是“说明不具有保号性”。（0<ε 二、关于0这个点： “零的任何邻域中总包含正数和负数” 这一句话就能说明a为什么不为0. 1楼 匿名用户 我给你举个例子 1 2 4 8 16 32 该系列乘以2 乘法分配律 2 4 8 16 32 现在，你发现了什么？ ？ ？ 乘以2是这一系列的列 1，而不是这个系列和如何也看到乘以2的正数，是不可能减少 数目等于问题吧 这就是为什么 5555555555555555555，如果它是错... 1楼 安克鲁 楼主之所以问出这样的问题，说明了两个方面 1 楼主是喜欢思考的人，不是人云亦云 不知所云的人 2楼 拿数列极限来讲 lim xn a 对于任意的 0 存在正整数n 当n n时 有 xn a 。 例子 函数极限定义中的 和 是双射 一一映射 吗对任意给定的 存在 0 当0 函数极限定义中...极限四则运算法则为什么项数必须为有限项,且必须有极限
函数极限中的为什么可以任意给定,为什么证明数列极限的时候要取任意给定的ε，而不取某个ε?