相空间的可计算性

2020-11-23 22:24:08 字数 908 阅读 5157

1楼:神仙

关于可计算性又如何呢?如果我们从相空间中的一个可计算的点(亦即从一个其位置和动量坐标都为可计算数的点)出发,并且等待可计算的时间t,那么一定会终结于从t和初始数据计算得出的某一点吗?答案肯定是依赖于哈密顿函数h的选择。

实际上,在h中会出现一些物理常数,诸如牛顿的引力常数或光速--这些量的准确值视单位的选定而被决定,但其他的量可以是纯粹数字--并且,如果人们希望得到肯定答案的话,则必须保证这些常数是可计算的数。如果假定是这种情形,那我的猜想是,答案会是肯定的。这仅仅是一个猜测。

然而,这是一个有趣的问题,我希望以后能进一步考察之。

另一方面,由于类似于我在讨论有关撞球世界时简要提出的理由,对我来说,这似乎不完全是相关的问题。为了使一个相空间的点是不可计算的断言有意义,它要求无限精确的坐标??亦即它的所有小数位!

(一个由有限小数描述的数总是可以计算的。)一个数的小数的有限段不能告诉我们任何关于这个数整个的可计算性。但是,所有物理测量的精度都是有限的,只能给出有限位小数点的信息。

在进行物理测量时,这是否使“可计算数”的整个概念化成泡影?”

的确,一个以任何有用的方式利用某些物理定律中(假想的)不可计算因素的仪器不应依赖于无限精确的测量。也许我在这里有些过分苛刻了。假定我们有一台物理仪器,为了已知的理论原因,模拟某种有趣的非算法的数学过程。

如果此仪器的行为总可以被精密地确定的话,则它的行为就会给一系列数学上有趣的没有算法的是非问题以正确答案。任何给定的算法都会到某个阶段失效。而在那个阶段,该仪器会告诉我们某些新的东西。

该仪器也许的确能把某些物理常数测量到越来越高的精度。而为了研究一系列越来越深入的问题,这是需要的。然而,在该仪器的有限的精度阶段,至少直到我们对这系列问题找到一个改善的算法之前,我们得到某些新的东西。

然而,为了得到某些使用改善了的算法也不能告诉我们的东西,就必须乞求更高的精度。

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