1楼：徐绎洋
奇异值 奇异值矩阵 奇异值矩阵分解
奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。
定义：设a为m*n阶矩阵，的n个特征值的非负平方根叫作a的奇异值。记为。
(a)，则ha)^(1/2)。
定理:（奇异值分解）设a为m*n阶复矩阵，则存在m阶酉阵u和n阶酉阵v，使得:
a = u*s*v’
其中s=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0 (i=1,…,r)，r=rank(a)。
推论：设a为m*n阶实矩阵，则存在m阶正交阵u和n阶正交阵v，使得
a = u*s*v’
其中s=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0 (i=1,…,r)，r=rank(a)。
说明：1、奇异值分解非常有用，对于矩阵a(m*n)，存在u(m*m)，v(n*n)，s(m*n)，满足a = u*s*v’。u和v中分别是a的奇异向量，而s是a的奇异值。
aa'的正交单位特征向量组成u，特征值组成s's，a'a的正交单位特征向量组成v，特征值（与aa'相同）组成ss'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。
2、奇异值分解提供了一些关于a的信息，例如非零奇异值的数目（s的阶数）和a的秩相同，一旦秩r确定，那么u的前r列构成了a的列向量空间的正交基。
关于奇异值分解中当考虑的对象是实矩阵时: s对角元的平方恰为a'a特征值的说明. (对复矩阵类似可得)
从上面我们知道矩阵的奇异值分解为: a=usv, 其中u,v是正交阵(所谓b为正交阵是指b'=b-1, 即b'b=i), s为对角阵.
a'a=v's'u'usv=v's'sv=v-1s2v
上式中, 一方面因为s是对角阵, s's=s2, 且s2对角元就是s的对角元的平方. 另一方面注意到a'a是相似与s2的, 因此与s2有相同特征值.
注：下面的符号和上面的有差异，注意区分
svd步骤：
1、求aha或aah
2、求aha或aah的特征值及特征向量x1,x2,...xr， r个特征值组成
3、 u=(x1,x2,...xr)地
4、v1=au1δr-1，取v2与其正交，则v=(v1，v2)
则n阶复方阵u的n个列向量是u空间的一个标准正交基,则u是u距阵.
一个简单的充分必要判别准则是 方阵u的转置共扼距阵乘以u 等于单位阵,则u是u距阵
正交向量组的性质
定义1 euclid空间v的一组两两正交的非零向量叫做v的一个正交向量组．
若正交向量组的每一个向量都是单位向量，这个正交组就叫做一个标准正交向量组．
设v是一个n维euclid空间．若v中n个向量α1，α2，…，αn构成一个正交组，则由定理9.2.1知道这n个向量构成v的一个基．这样的一个基叫做v的一个正交基．若v的一个正交基还是一个标准正交向量组，则称这个基是v的一个标准正交基．
对下列矩阵进行奇异值分解，要过程，满意必采纳
2楼：小乐笑了
(1)aat=
5 15
15 45
|λi-aat| =
λ-5 -15
-15 λ-45
= (λ-5)(λ-45)-225 =λ(λ-50) = 0解得λ=50或0
因此奇异值是5√2，0
解出aat特征向量为：
特征向量进行单位化，得到
1/√10 -3/√10
3/√10 1/√10
下面求出ata=
10 20
20 40
特征向量是：
特征向量进行单位化，得到
1√5 -2/√5
2/√5 1/√5
因此得到svd分解
a=1/√10 -3/√10
3/√10 1/√10
×5√2 0
0 0×
1√5 2/√5
-2/√5 1/√5
3楼：匿名用户
这字好像姚强啊喂，题主是某届学长or学姐吗，今年他又把345题扒拉出来当作业了hhh
求矩阵a=(201,120)的奇异值和奇异值分解
4楼：
奇异值（我没听说过,别处粘来的）：对于一个实矩阵a（m×n阶）,如果可以分解为a＝usv’,其中u和v为分别为m×n与n×m阶正交阵,s为n×n阶对角阵,且s＝diag（a1,a2,...,ar,0,...
,0）.且有a1>=a2>=a3>=...>=ar>=0.
那么a1,a2,...,ar称为矩阵a的奇异值.a的奇异值为a’a的特征值的平方根（a’表示a的转置矩阵）,通过此可以求出奇异值.
这道题的话就算出a和a的转置的乘积,得到 （4,4；4,4）特征值是8,0,那么奇异值是两倍根号2
matlab 复数矩阵矩阵奇异值分解
5楼：我行我素
不论实矩阵或是虚矩阵，奇异值分解的结果都是非负的、实数的奇异值，如：
a=magic(5);b=svd(a)
c=rand(5);d=a+1i*c;e=svd(d)结果是：
b =65.0000
22.5471
21.6874
13.4036
11.9008
e =65.0554
22.5819
21.6764
13.4087
11.8961
6楼：匿名用户
svd同样可以用于复数矩阵；另外svd(a)，需要a是一个矩阵
奇异值的物理意义是什么？
7楼：狗熊开心点
我以前看过吴军的数学之美，现在让我们来看看奇异值分解是怎么回事。
首先，我们可以用一个大矩阵a来描述这一百万篇文章和五十万词的关联性。这个矩阵中，每一行对应一篇文章，每一列对应一个词。
在上面的图中，m=1,000,000，n=500,000。第i行，第j列的元素，是字典中第j个词在第i篇文章中出现的加权词频读者可能已经注意到了，这个矩阵非常大，有一百万乘以五十万，即五千亿个元素。
奇异值分解就是把上面这样一个大矩阵，分解成三个小矩阵相乘，如下图所示。比如把上面的例子中的矩阵分解成一个一百万乘以一百的矩阵x，一个一百乘以一百的矩阵b，和一个一百乘以五十万的矩阵y。这三个矩阵的元素总数加起来也不过1.
5亿，仅仅是原来的三千分之一。相应的存储量和计算量都会小三个数量级以上。
三个矩阵有非常清楚的物理含义：
矩阵x中的每一行表示意思相关的一类词，其中的每个非零元素表示这类词中每个词的重要性（或者说相关性），数值越大越相关。
8楼：匿名用户
一切矩阵都可奇异值分解，只有方阵可特征值分解。例如实对称矩阵:
【2，1】
【1，2】
■ ①奇异值分解
u＝【0.707， 0.707】
······【0.707，-0.707】
s＝【3，0】
······【0，1】
v＝【0.707， 0.707】
······【0.707，-0.707】
且可验证usv＝a。
∵ u＝v(它们是正交阵)，
∴ usv＝usu＝us(u转)＝us(u逆)＝a；
且 usv＝usu＝(u转)su＝(u逆)su＝a。
■ ②特征值分解
λ1＝3，特征向量p1＝(1， 1)^t；
λ2＝1，特征向量p2＝(1，-1)^t。
可见: 奇异值分解包含了特征值分解；特征值分解可视为奇异值分解之特例。
如何理解矩阵奇异值和特征值？
9楼：
基本介绍
奇异值分解在某些方面与对称矩阵或hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩阵上的推广。
[1]编辑本段理论描述
假设m是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域 k，也就是 实数域或复数域。如此则存在一个分解使得
m = uσv*，
其中u是m×m阶酉矩阵；σ是半正定m×n阶对角矩阵；而v*，即v的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作m的奇异值分解。σ对角线上的元素σi,i即为m的奇异值。
常见的做法是为了奇异值由大而小排列。如此σ便能由m唯一确定了。(虽然u和v仍然不能确定。)
直观的解释[2]
在矩阵m的奇异值分解中 m = uσv*
·v的列(columns)组成一套对m的正交"输入"或"分析"的基向量。这些向量是m*m的特征向量。
·u的列(columns)组成一套对m的正交"输出"的基向量。这些向量是mm*的特征向量。
·σ对角线上的元素是奇异值，可视为是在输入与输出间进行的标量的"膨胀控制"。这些是m*m及mm*的奇异值，并与u和v的行向量相对应。
奇异值和奇异向量, 以及他们与奇异值分解的关系
一个非负实数σ是m的一个奇异值仅当存在km 的单位向量u和kn的单位向量v如下 ：
其中向量u 和v分别为σ的左奇异向量和右奇异向量。
对于任意的奇异值分解
矩阵σ的对角线上的元素等于m的奇异值. u和v的列分别是奇异值中的左、右奇异向量。因此,上述定理表明:
一个m × n的矩阵至少有一个最多有 p = min(m,n)个不同的奇异值。
总是可以找到在km 的一个正交基u，组成m的左奇异向量。
总是可以找到和kn的一个正交基v，组成m的右奇异向量。
如果一个奇异值中可以找到两个左（或右）奇异向量是线性相关的，则称为退化。
非退化的奇异值具有唯一的左、右奇异向量，取决于所乘的单位相位因子eiφ（根据实际信号）。因此，如果m的所有奇异值都是非退化且非零，则它的奇异值分解是唯一的，因为u中的一列要乘以一个单位相位因子且同时v中相应的列也要乘以同一个相位因子。
根据定义，退化的奇异值具有不唯一的奇异向量。因为，如果u1和u2为奇异值σ的两个左奇异向量，则两个向量的任意规范线性组合也是奇异值σ一个左奇异向量，类似的，右奇异向量也具有相同的性质。因此，如果m 具有退化的奇异值，则它的奇异值分解是不唯一的。
与特征值分解的联系
几何意义
因为u 和v 向量都是单位化的向量, 我们知道u的列向量u1,...,um组成了km空间的一组标准正交基。同样，v的列向量v1,...
,vn也组成了kn空间的一组标准正交基(根据向量空间的标准点积法则).
线性变换t: kn → km，把向量x变换为mx。考虑到这些标准正交基，这个变换描述起来就很简单了:
t(vi) = σi ui, for i = 1,...,min(m,n), 其中σi 是对角阵σ中的第i个元素; 当i > min(m,n)时，t(vi) = 0。
这样，svd理论的几何意义就可以做如下的归纳：对于每一个线性映射t: kn → km，t把kn的第i个基向量映射为km的第i个基向量的非负倍数,然后将余下的基向量映射为零向量。
对照这些基向量，映射t就可以表示为一个非负对角阵。
奇异值分解有什么作用,奇异值分解的几何意义是什么？
1楼 零下负5度小 奇异值分解是线性代数中一种重要 的矩阵分解，在信号处理 统计学等领域有重要应用。奇异值分解在某些方面与对称矩阵或hermite矩阵基于特征向量的对角化类似。然而这两种矩阵分解尽管有其相关性，但还是有明显的不同。 对称阵特征向量分解的基础是谱分析，而奇异值分解则是谱分析理论在任意矩...